Trace a curva polar r=1+2 cos theta e depois encontre a área da região que está dentro do laço interno da curva.

Passo 1

O enunciado pede para traçar a curva polar r=1+2costheta e calcular a área do laço interno. Vamos usar o conceito de coordenadas polares e a fórmula de área
A=12integraltheta1^theta2r^2,dtheta
Para isso, precisamos achar onde r=0 para identificar os limites do laço interno.

Passo 2

Primeiro, determinamos os ângulos em que r=0:
1+2costheta=0impliescostheta=-tfrac12impliestheta=tfrac2pi3,;tfrac4pi3
Esses valores são os limites entre os quais o laço interno é descrito.

Passo 3

A área do laço interno é dada por
Ainterno=12integral2pi/3^4pi/3(1+2costheta)^2,dtheta
Vamos expandir o integrando:

Passo 4

Expandindo
(1+2costheta)^2=1+4costheta+4cos^2theta =1+4costheta+4cdot1+cos2theta2 =3+4costheta+2cos2theta

Passo 5

Substituindo na integral e integrando term a term:
Ainterno=12integral2pi/3^4pi/3(3+4costheta+2cos2theta),dtheta =12l[3theta+4sintheta+sin2thetar]2pi/3^4pi/3

Passo 6

Agora avaliamos em theta=4pi/3 e theta=2pi/3:
  • 3theta 3cdot(4pi/3-2pi/3)=2pi.
  • 4sintheta 4(sin(4pi/3)-sin(2pi/3))=4(-tfracraiz32-tfracraiz32)=-4raiz3.
  • sin2theta sin(8pi/3)-sin(4pi/3)=tfracraiz32-(-tfracraiz32)=raiz3.
    Somando: 2pi-4raiz3+raiz3=2pi-3raiz3.

Passo 7

Portanto
Ainterno=12l(2pi-3raiz3r)=pi-3raiz32

Resposta

pi - tfrac3raiz32

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