Determine as seguintes potências de
:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a potência de um número complexo, ou seja, encontrar
para
. Estamos trabalhando com números complexos e vamos usar a forma polar e o teorema de De Moivre para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, convertemos
para a forma polar
. Calculamos o módulo
e o argumento
:
O módulo é
Para o argumento, notamos que
e como
estamos no terceiro quadrante, então
Portanto
Passo 3
Agora aplicamos o teorema de De Moivre para elevar à sétima potência:
Aqui
e
Passo 4
Reduzimos o ângulo
ao intervalo principal
. Subtraindo
duas vezes:
novamente
Então
Passo 5
Agora escrevemos o resultado na forma trigonométrica e depois voltamos para a forma retangular:
Sabendo que
e
temos