Determine as seguintes potências de z= -2-2 raiz3 i :
z^7

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência de um número complexo, ou seja, encontrar z^7 para z = -2 - 2raiz3,i. Estamos trabalhando com números complexos e vamos usar a forma polar e o teorema de De Moivre para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, convertemos z para a forma polar z = r,cis(theta). Calculamos o módulo r e o argumento theta:
O módulo é
r = |z| = raiz(-2)^2 + (-2raiz3)^2 = raiz4 + 12 = 4
Para o argumento, notamos que
tan(theta) = -2raiz3-2 = raiz3,
e como x<0, y<0 estamos no terceiro quadrante, então
theta = pi + pi3 = 4pi3
Portanto
z = 4,cisl(tfrac4pi3r)

Passo 3

Agora aplicamos o teorema de De Moivre para elevar à sétima potência:
z^7 = l(r,cis(theta)r)^7 = r^7,cis(7theta)
Aqui r^7 = 4^7 = 16384 e 7theta = 7 times 4pi3 = 28pi3

Passo 4

Reduzimos o ângulo 7theta = 28pi3 ao intervalo principal [0,2pi). Subtraindo 2pi = 6pi3 duas vezes:
28pi3 - 2times 2pi = 28pi3 - 12pi3 = 16pi3,
novamente
16pi3 - 2times 2pi = 16pi3 - 12pi3 = 4pi3
Então 7thetaequiv 4pi3 pmod2pi

Passo 5

Agora escrevemos o resultado na forma trigonométrica e depois voltamos para a forma retangular:
z^7 = 16384,cisl(tfrac4pi3r) = 16384l(costfrac4pi3 + isintfrac4pi3r)
Sabendo que costfrac4pi3 = -tfrac12 e sintfrac4pi3 = -tfracraiz32, temos
z^7 = 16384l(-tfrac12 - itfracraiz32r) = -8192 - 8192raiz3,i

Resposta

-8192 - 8192raiz3,i

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