Determine se as seguintes são transformações lineares de R^3 em R^2 :
L(x)=(x2, x3)^T

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
Lcolon R^3 to R^2, L(x) = x2 x3 ,
onde x=(x1,x2,x3). O conteúdo aqui é Transformação Linear, e vamos precisar usar a definição: L é linear se, para quaisquer u,vinR^3 e qualquer escalar c, tivermos
  1. L(u+v) = L(u) + L(v) (aditividade)
  2. L(c,u) = c,L(u) (homogeneidade)

Passo 2

Verificação da aditividade. Tomemos u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3). Então
u+v = (u1+v1,;u2+v2,;u3+v3)
Aplicando L,
L(u+v) = u2+v2 u3+v3
Por outro lado,
L(u) + L(v) = u2 u3 + v2 v3 = u2+v2 u3+v3
Logo
L(u+v) = L(u) + L(v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja cinR. Para u=(u1,u2,u3), temos
c,u = (c,u1,;c,u2,;c,u3)
Aplicando L,
L(c,u) = c,u2 c,u3 = c u2 u3 = c,L(u)
Portanto
L(c,u) = c,L(u)

Passo 4

Como L satisfaz simultaneamente aditividade e homogeneidade, concluímos que L é uma transformação linear.

Resposta

Sim, L é transformação linear de R^3 em R^2.

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