Determine se as seguintes são transformações lineares de R^3 em R^2 :
L(x)=(0,0)^T

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
Lcolon R^3toR^2
definida por
L(x) = (0,0)^Tpara todo xinR^3
Queremos decidir se L é uma transformação linear, ou seja, se satisfaz as duas propriedades:
  1. Aditividade: L(u+v)=L(u)+L(v) para todo u,vinR^3.
  2. Homogeneidade: L(alpha,u)=alpha,L(u) para todo alphainR e uinR^3.

Passo 2

Verificamos a aditividade. Sejam u,vinR^3. Então
L(u+v) =(0,0)^T e L(u)+L(v) =(0,0)^T+(0,0)^T=(0,0)^T
Portanto
L(u+v)=L(u)+L(v)

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Seja alphainR e uinR^3. Então
L(alpha,u) =(0,0)^T e alpha,L(u) =alpha,(0,0)^T=(0,0)^T
Logo
L(alpha,u)=alpha,L(u)

Passo 4

Como L satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que L é uma transformação linear de R^3 em R^2.

Resposta

L é transformação linear.

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