A transformação linear L definida por L(p(x))=p^{\prime}(x)+p(0) representa P_{3} em P_{2}. Encontre a representação matricial de L em relação às bases ordenadas \left\{x^{2}, x, 1\right\} e \{2,1,-x\}. Para cada um dos seguintes vetores p(x) em P_{3}, encontre as coordenadas de L(p(x)) em relação à base ordenada \{2,1,-x\} :
(c) 3 x

Passo 1

O enunciado define
L\colon P_3\to P_2,\quad L\bigl(p(x)\bigr)=p'(x)+p(0),
e pede, em particular, para o vetor p(x)=3x, as coordenadas de L(p(x)) na base ordenada \{2,1,-x\}. Vamos calcular L(3x) e depois expressá-lo como combinação linear de 2, 1 e -x.

Passo 2

Calculemos L(3x). Para p(x)=3x temos
p'(x)=3, \qquad p(0)=3\cdot0=0,
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L(3x)=p'(x)+p(0)=3+0=3.

Passo 3

Queremos achar escalares a,b,c tais que
3 = a\cdot 2 \;+\; b\cdot 1 \;+\; c\cdot(-x).
Isto equivale a
2a + b \;-\; c\,x \;=\; 3 + 0\cdot x.

Passo 4

Compare coeficientes de x e do termo constante:
- Coeficiente de x: -c=0 c=0.
- Coeficiente constante: 2a+b=3.
Como não há mais restrições, podemos escolher, por exemplo, \displaystyle a=0 e então b=3.

Resposta

As coordenadas de L(3x) na base \{2,1,-x\} são
\bigl[a,b,c\bigr] = \bigl[0,\,3,\,0\bigr].

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