A transformação linear L definida por L(p(x))=p^{\prime}(x)+p(0) representa P_{3} em P_{2}. Encontre a representação matricial de L em relação às bases ordenadas \left\{x^{2}, x, 1\right\} e \{2,1,-x\}. Para cada um dos seguintes vetores p(x) em P_{3}, encontre as coordenadas de L(p(x)) em relação à base ordenada \{2,1,-x\} :
(d) 4 x^{2}+2 x

Passo 1

O enunciado define
• o espaço de domínio P_2 (polinômios de grau <=2) com base ordenada \{x^2,\;x,\;1\},
• o espaço de chegada P_2 com a base ordenada \{2,\;1,\;-x\},
e a transformação linear
L\bigl(p(x)\bigr)=p'(x)+p(0).
Queremos, em particular, para p(x)=4x^2+2x, calcular
  1. L(p(x)),
  2. as coordenadas de L(p(x)) na base \{2,1,-x\}.

Passo 2

Calcular L nos polinômios básicos para uso posterior:
  1. Em p(x)=x^2:
p'(x)=2x,\quad p(0)=0\quad\Longrightarrow\quad L(x^2)=2x.
  1. Em p(x)=x:
p'(x)=1,\quad p(0)=0\quad\Longrightarrow\quad L(x)=1.
  1. Em p(x)=1:
p'(x)=0,\quad p(0)=1\quad\Longrightarrow\quad L(1)=1.

Passo 3

Agora aplicamos L ao polinômio da parte (d):
p(x)=4x^2+2x \quad\Longrightarrow\quad L\bigl(4x^2+2x\bigr) =4\,L(x^2)+2\,L(x) =4\cdot(2x)+2\cdot1 =8x+2.

Passo 4

Para achar as coordenadas de 8x+2\) na base \(\{2,1,-x\}\), escrevemos \[8x+2 \;=\; a\,(2) \;+\; b\,(1)\;+\; c\,(-x) \;=\;(2a+b)\;+\;(-c)\,x.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} 2a+b = 2,\\\\ -\,c = 8\;\Longrightarrow\;c=-8. \end{cases}
Da primeira equação obtemos (b=2-2a].

Passo 5

Concluímos que todo vetor de coordenadas (a,b,c) satisfazendo
c=-8,\quad b=2-2a
representa 8x+2. Em particular, podemos escolher a=0 (caso mais simples), ficando
(a,b,c)=(0,\;2,\;-8).

Resposta

As coordenadas de L(4x^2+2x)=8x+2 na base \{2,1,-x\} podem ser escritas genericamente como
\bigl(a,\;2-2a,\;-8\bigr),\;a\in\mathbb{R},
e uma escolha conveniente é
\boxed{\,(0,\;2,\;-8)\,.}

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