Determine se as seguintes sequências convergem ou divergem
a_{n}=n \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a sequência a_{n} = n\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{n}\right) converge ou diverge e, em caso de convergência, para qual valor converge.
Informações dadas: a expressão explícita de a_{n} para cada n\in\mathbb{N} é a_{n}=n\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{n}\right). Não há outras condições escondidas.

Passo 2

Primeira manipulação útil: introduzo a variável auxiliar \(x_n) definida por \(x_n=\frac{1}{n}). Vou mostrar por que isso ajuda. Note que
x_n=\frac{1}{n}\qquad\text{e}\qquad a_n=n\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{\operatorname{sen}(x_n)}{x_n}.
Agora observe o comportamento de \(x_n) quando n\to\infty. Como n cresce indefinidamente, \(1/n) fica cada vez menor, portanto
\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Isto é importante porque transformamos o problema de limite de sequência em analisar o limite de \(\frac{\operatorname{sen} x}{x}) quando x\to 0.

Passo 3

Enunciado de um resultado central que vou usar (e que devo ensinar): o limite clássico
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Vou explicar e demonstrar esse resultado de forma didática usando o Teorema do Confronto (teorema do aperto, squeeze theorem), que é muito usado em provas e na prova de limites.
O Teorema do Confronto diz: se temos três funções f(x),g(x),h(x) tais que f(x)\le g(x)\le h(x) numa vizinhança de um ponto e \lim f(x)=\lim h(x)=L, então \lim g(x)=L.
Para aplicar isso a \frac{\operatorname{sen} x}{x} usamos a desigualdade trigonométrica (válida para x em (0,\tfrac{\pi}{2}); mais adiante justifico por que nossos x_n caem nesse intervalo):
\cos x \le \frac{\operatorname{sen} x}{x} \le 1\qquad\text{para }0<x<\frac{\pi}{2}.
Explicação intuitiva (geometria): essa desigualdade vem de comparar áreas no círculo unitário ou comparar triângulos/sector; a ideia é que para x>0 pequeno a corda, o arco e a tangente ao círculo geram relações que conduzem a \operatorname{sen} x < x < \tan x, e daí rearranjando obtém-se \cos x \le \frac{\operatorname{sen} x}{x} \le 1. Não precisamos do desenho aqui, apenas da desigualdade já conhecida e justificável geometricamente em cursos básicos.
Agora, ao fazer x\to 0, temos \lim_{x\to 0}\cos x = 1 e o limite superior é constante 1. Aplicando o Teorema do Confronto,
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.

Passo 4

Volto à sequência: já estabeleci que x_n=\frac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, e mostrei que \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1. Como a_n=\frac{\operatorname{sen}(x_n)}{x_n}, por composição de limites (ou substituição) posso concluir que
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}(x_n)}{x_n} = \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Um detalhe técnico: a desigualdade \cos x \le \frac{\operatorname{sen} x}{x}\le 1 vale para todos os x_n=\frac{1}{n} com n\ge 1, porque 0<\frac{1}{n}\le 1<\frac{\pi}{2}, então não há problema de domínio.

Passo 5

Interpretação e check numérico rápido (para ganhar confiança): para n=10 temos
a_{10}=10\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{10}\right)\approx 10\cdot 0{,}09983\approx 0{,}9983,
bem próximo de 1. Para n=100 fica ainda mais perto, etc. Isso confirma intuitivamente o resultado teórico.

Resposta

A sequência converge para 1.

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