Determine se as seguintes sequências convergem ou divergem
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a sequência
converge ou diverge e, em caso de convergência, para qual valor converge.
Informações dadas: a expressão explícita de para cada
é
. Não há outras condições escondidas.
Informações dadas: a expressão explícita de
Passo 2
Primeira manipulação útil: introduzo a variável auxiliar
) definida por
). Vou mostrar por que isso ajuda. Note que
Agora observe o comportamento de
) quando
. Como
cresce indefinidamente,
) fica cada vez menor, portanto
Isto é importante porque transformamos o problema de limite de sequência em analisar o limite de
) quando
.
Passo 3
Enunciado de um resultado central que vou usar (e que devo ensinar): o limite clássico
Vou explicar e demonstrar esse resultado de forma didática usando o Teorema do Confronto (teorema do aperto, squeeze theorem), que é muito usado em provas e na prova de limites.
O Teorema do Confronto diz: se temos três funções
tais que
numa vizinhança de um ponto e
, então
.
Para aplicar isso a
usamos a desigualdade trigonométrica (válida para
em
; mais adiante justifico por que nossos
caem nesse intervalo):
Explicação intuitiva (geometria): essa desigualdade vem de comparar áreas no círculo unitário ou comparar triângulos/sector; a ideia é que para
pequeno a corda, o arco e a tangente ao círculo geram relações que conduzem a
, e daí rearranjando obtém-se
. Não precisamos do desenho aqui, apenas da desigualdade já conhecida e justificável geometricamente em cursos básicos.
Agora, ao fazer
, temos
e o limite superior é constante
. Aplicando o Teorema do Confronto,
Passo 4
Volto à sequência: já estabeleci que
quando
, e mostrei que
. Como
, por composição de limites (ou substituição) posso concluir que
Um detalhe técnico: a desigualdade
vale para todos os
com
, porque
, então não há problema de domínio.
Passo 5
Interpretação e check numérico rápido (para ganhar confiança): para
temos
bem próximo de
. Para
fica ainda mais perto, etc. Isso confirma intuitivamente o resultado teórico.
Resposta
A sequência converge para
.