Seja
. Escreva uma série geométrica cuja soma seja
. Calcule a soma desta série para mostrar que
.
Passo 1
O enunciado diz que
. As perguntas são:
- Escrever uma série geométrica cuja soma seja
. - Calcular a soma dessa série e usar isso para mostrar que
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A notação
significa que há infinitos algarismos à direita da vírgula decimal, ou seja, uma soma infinita de termos decimais. - Cada casa decimal corresponde a uma potência de
: a primeira casa decimal vale , a segunda vale , e assim por diante.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente os primeiros termos que compõem
. Eles são:
Agora quero transformar cada um desses termos em fração/potência de
. Observando:
e assim por diante. Portanto cada termo geral é
para
.
Passo 3
Escrevendo
como soma dos termos descritos, obtemos a série infinita
Factorizando
, isso fica
Isto é uma série geométrica com primeiro termo
e razão
dados por:
(Explicação rápida: o primeiro termo da soma
é quando
, que é
. A razão entre termos consecutivos é sempre
.)
Passo 4
Agora vou lembrar (e derivar) a fórmula da soma parcial de uma série geométrica finita. Seja uma soma finita com
termos
Multiplicando ambos os lados por
e subtraindo:
Fatorando
. Assim a expressão para a soma parcial é
Nessa fórmula,
é o primeiro termo e
é a razão; ela vale para qualquer
.
Passo 5
Para passar da soma parcial
à soma infinita
(quando a série converge), tomamos o limite quando
:
Se
, então
. No nosso caso temos
, e
, logo
. Portanto a soma da série infinita é
Isso é a fórmula de soma da série geométrica convergente.
Passo 6
Aplicando a fórmula ao nosso
e
:
Agora calculamos passo a passo:
então
Portanto a soma da série geométrica que representa
é exatamente
.
Passo 7
Como reforço pedagógico (truque curto que você pode usar na prova): suponha
. Multiplicando por
temos
. Subtraindo
de
:
Esse raciocínio usa a mesma propriedade da série infinita mostrada acima, mas de forma algébrica rápida.