Seja x=0,999 \ldots. Escreva uma série geométrica cuja soma seja x. Calcule a soma desta série para mostrar que x=1.

Passo 1

O enunciado diz que x=0,999\ldots. As perguntas são:
  • Escrever uma série geométrica cuja soma seja x.
  • Calcular a soma dessa série e usar isso para mostrar que x=1.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A notação 0,999\ldots significa que há infinitos algarismos 9 à direita da vírgula decimal, ou seja, uma soma infinita de termos decimais.
  • Cada casa decimal corresponde a uma potência de 10: a primeira casa decimal vale 10^{-1}, a segunda vale 10^{-2}, e assim por diante.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente os primeiros termos que compõem 0,999\ldots. Eles são:
0,9,\;0,09,\;0,009,\;\ldots
Agora quero transformar cada um desses termos em fração/potência de 10. Observando:
0,9 = \frac{9}{10} = 9\cdot 10^{-1},
0,09 = \frac{9}{100} = 9\cdot 10^{-2},
0,009 = \frac{9}{1000} = 9\cdot 10^{-3},
e assim por diante. Portanto cada termo geral é 9\cdot 10^{-k} para k=1,2,3,\ldots.

Passo 3

Escrevendo x como soma dos termos descritos, obtemos a série infinita
x = \sum_{k=1}^{\infty} 9\cdot 10^{-k}.
Factorizando 9, isso fica
x = 9\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{10}\right)^{k}.
Isto é uma série geométrica com primeiro termo a e razão r dados por:
a = \frac{9}{10},\qquad r = \frac{1}{10}.
(Explicação rápida: o primeiro termo da soma 9\sum_{k=1}^\infty (1/10)^k é quando k=1, que é 9\cdot(1/10)=9/10. A razão entre termos consecutivos é sempre 1/10.)

Passo 4

Agora vou lembrar (e derivar) a fórmula da soma parcial de uma série geométrica finita. Seja uma soma finita com n termos
S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{\,n-1}.
Multiplicando ambos os lados por r e subtraindo:
rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{\,n},
S_n - rS_n = a - ar^{\,n}.
Fatorando S_n(1-r) = a(1-r^{\,n}). Assim a expressão para a soma parcial é
\boxed{S_n = \frac{a(1-r^{\,n})}{1-r}.}
Nessa fórmula, a é o primeiro termo e r é a razão; ela vale para qualquer r\neq 1.

Passo 5

Para passar da soma parcial S_n à soma infinita S (quando a série converge), tomamos o limite quando n\to\infty:
S = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{a(1-r^{\,n})}{1-r}.
Se |r|<1, então \lim_{n\to\infty} r^{\,n}=0. No nosso caso temos r=\tfrac{1}{10}, e |r|=\tfrac{1}{10}<1, logo r^{\,n}\to 0. Portanto a soma da série infinita é
S = \frac{a}{1-r}.
Isso é a fórmula de soma da série geométrica convergente.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao nosso a e r:
a=\frac{9}{10},\qquad r=\frac{1}{10},
x = S = \frac{a}{1-r} = \frac{\tfrac{9}{10}}{1 - \tfrac{1}{10}}.
Agora calculamos passo a passo:
1 - \tfrac{1}{10} = \tfrac{9}{10},
então
x = \frac{\tfrac{9}{10}}{\tfrac{9}{10}} = 1.
Portanto a soma da série geométrica que representa 0,999\ldots é exatamente 1.

Passo 7

Como reforço pedagógico (truque curto que você pode usar na prova): suponha x=0,999\ldots. Multiplicando por 10 temos 10x=9,999\ldots. Subtraindo x de 10x:
10x - x = 9,999\ldots - 0,999\ldots \Rightarrow 9x = 9 \Rightarrow x = 1.
Esse raciocínio usa a mesma propriedade da série infinita mostrada acima, mas de forma algébrica rápida.

Resposta

x=\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} 9\cdot 10^{-k}
x=1

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