Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. O que se pede é a equação do plano tangente à superfície
no ponto correspondente. Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O ponto na base é
. O ponto sobre a superfície será . - Observação importante: a expressão
exige que ; aqui então está tudo ok.
Passo 2
O que é a equação do plano tangente? Para uma superfície
, o plano tangente no ponto
é a melhor aproximação linear de
perto de
. A fórmula padrão é
onde
e
são as derivadas parciais de
em
. Aqui:
-
é o valor da função no ponto. -
mede a taxa de variação de quando variamos mantendo fixo. -
mede a taxa de variação de quando variamos mantendo fixo.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais. É útil usar a substituição
, de modo que
com
.
Pela regra da cadeia:
Pela regra da cadeia:
Sabemos que
. Agora calculemos
e
:
Passo 4
Substituindo na regra da cadeia obtemos expressões explícitas:
Explicando:
é
multiplicado por
;
é
multiplicado por
.
Passo 5
Agora avaliamos tudo no ponto
.
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Calcule
:
Passo 6
Substituímos os valores na fórmula do plano tangente:
Com os números:
Podemos simplificar fatorando
:
Fazendo a álgebra interna:
logo uma forma compacta é
Verificação rápida: para
temos
e então
, que é o valor correto no ponto.