Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.
g(x, y)=e^{x / y}, (2,1)

Passo 1

O enunciado dá a função g(x,y)=e^{x/y} e o ponto (2,1). O que se pede é a equação do plano tangente à superfície z=g(x,y) no ponto correspondente. Informações relevantes dadas:
  • A função é g(x,y)=e^{x/y}.
  • O ponto na base é (2,1). O ponto sobre a superfície será (2,1,g(2,1)).
  • Observação importante: a expressão x/y exige que y\neq 0; aqui y=1 então está tudo ok.

Passo 2

O que é a equação do plano tangente? Para uma superfície z=g(x,y), o plano tangente no ponto (a,b,g(a,b)) é a melhor aproximação linear de g perto de (a,b). A fórmula padrão é
z = g(a,b) + g_x(a,b)\,(x-a) + g_y(a,b)\,(y-b),
onde g_x(a,b) e g_y(a,b) são as derivadas parciais de g em (a,b). Aqui:
  • g(a,b) é o valor da função no ponto.
  • g_x(a,b) mede a taxa de variação de g quando variamos x mantendo y fixo.
  • g_y(a,b) mede a taxa de variação de g quando variamos y mantendo x fixo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais. É útil usar a substituição u=\dfrac{x}{y}, de modo que g(x,y)=e^{u} com u=u(x,y)=x/y.
Pela regra da cadeia:
g_x = \frac{\partial g}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x},\qquad g_y = \frac{\partial g}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Sabemos que \dfrac{\partial}{\partial u} e^{u}=e^{u}. Agora calculemos \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y}:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{x}{y^{2}}.

Passo 4

Substituindo na regra da cadeia obtemos expressões explícitas:
g_x(x,y)=\frac{1}{y}\,e^{x/y}, \qquad g_y(x,y)=-\frac{x}{y^{2}}\,e^{x/y}.
Explicando: g_x é e^{x/y} multiplicado por \dfrac{1}{y}; g_y é e^{x/y} multiplicado por -\dfrac{x}{y^{2}}.

Passo 5

Agora avaliamos tudo no ponto (a,b)=(2,1).
Calcule g(2,1):
g(2,1)=e^{2/1}=e^{2}.
Calcule g_x(2,1):
g_x(2,1)=\frac{1}{1}\,e^{2}=e^{2}.
Calcule g_y(2,1):
g_y(2,1)=-\frac{2}{1^{2}}\,e^{2}=-2e^{2}.

Passo 6

Substituímos os valores na fórmula do plano tangente:
z = g(2,1) + g_x(2,1)\,(x-2) + g_y(2,1)\,(y-1).
Com os números:
z = e^{2} + e^{2}\,(x-2) -2e^{2}\,(y-1).
Podemos simplificar fatorando e^{2}:
z = e^{2}\big(1 + (x-2) -2(y-1)\big).
Fazendo a álgebra interna:
1 + (x-2) -2(y-1) = x - 2y + 1,
logo uma forma compacta é
z = e^{2}\,(x - 2y + 1).
Verificação rápida: para (x,y)=(2,1) temos x-2y+1=1 e então z=e^{2}, que é o valor correto no ponto.

Resposta

z = e^{2}\,(x - 2y + 1)

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