Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.
f(x, y)=x^{2}+y^{-2}, (4,1)

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:\n
A função é f(x,y)=x^{2}+y^{-2} e o ponto onde queremos o plano tangente é (4,1).\n
O que o exercício pede: encontrar a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (x,y)=(4,1).

Passo 2

Fórmula do plano tangente e interpretação (aula rápida):\n
Se z=f(x,y) é diferenciável em (a,b), a equação do plano tangente em (a,b,f(a,b)) é
z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b).
Aqui:\n
  • f_x(a,b) é a derivada parcial de f em relação a x avaliada em (a,b). Ela mede a taxa de variação de z quando só x muda e y fica fixo.\n
  • f_y(a,b) é a derivada parcial de f em relação a y avaliada em (a,b). Mede a taxa de variação de z quando só y muda e x fica fixo.\n
    Vamos aplicar essa fórmula com a=4 e b=1.

Passo 3

Calcular f(4,1):\n
f(4,1)=4^{2}+1^{-2}=16+1=17.
Observação: aqui usei que 1^{-2}=1.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais gerais:\n
  • Derivada parcial em relação a x: como x^{2} depende de x e y^{-2} é tratado como constante quando derivamos por x,
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+y^{-2}\big)=2x.
Explicação rápida: a derivada de x^{2} é 2x; y^{-2} é constante em relação a x.\n
  • Derivada parcial em relação a y: tratamos x^{2} como constante e derivamos y^{-2}. Usamos a regra de potência: se g(y)=y^{n} então g'(y)=n y^{n-1}. Aqui n=-2, então
\frac{d}{dy}y^{-2} = -2\,y^{-3}.
Portanto
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+y^{-2}\big)=-2\,y^{-3}.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais em (4,1):\n
f_x(4,1)=2\cdot 4=8,
f_y(4,1)=-2\cdot 1^{-3}=-2.
Comentário: 1^{-3}=1, então fica -2.

Passo 6

Montar o plano tangente usando a fórmula do Passo 2 com f(4,1)=17, f_x(4,1)=8 e f_y(4,1)=-2:\n
z = 17 + 8\,(x-4) + (-2)\,(y-1).
Agora simplificamos passo a passo:\n
Primeiro expandir:
z = 17 + 8x - 32 -2y +2.
Agrupando os termos constantes:
17 -32 +2 = -13.
Logo
z = 8x - 2y -13.

Resposta

z = 8x - 2y - 13

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