Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos:\n
A função é e o ponto onde queremos o plano tangente é
.\n
O que o exercício pede: encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto
.
A função é
O que o exercício pede: encontrar a equação do plano tangente à superfície
Passo 2
Fórmula do plano tangente e interpretação (aula rápida):\n
Se é diferenciável em
, a equação do plano tangente em
é
Se
Aqui:\n
-
é a derivada parcial de em relação a avaliada em . Ela mede a taxa de variação de quando só muda e fica fixo.\n -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em . Mede a taxa de variação de quando só muda e fica fixo.\n
Vamos aplicar essa fórmula come .
Passo 3
Calcular
:\n
Observação: aqui usei que
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais gerais:\n
- Derivada parcial em relação a
: como depende de e é tratado como constante quando derivamos por ,
Explicação rápida: a derivada de
é
;
é constante em relação a
.\n
- Derivada parcial em relação a
: tratamos como constante e derivamos . Usamos a regra de potência: se então . Aqui , então
Portanto
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais em
:\n
Comentário:
, então fica
.
Passo 6
Montar o plano tangente usando a fórmula do Passo 2 com
,
e
:\n
Agora simplificamos passo a passo:\n
Primeiro expandir:
Primeiro expandir:
Agrupando os termos constantes:
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