Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
a_{n}=n \tan \left(\frac{1}{n}\right) [Converge, Limite =1]

Passo 1

O enunciado define a sequência a_{n}=n\tan\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) e pede para determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, temos de achar \lim_{n\to\infty}a_{n}. O conteúdo usado será limite de funções e, em particular, a equivalência infinitesimal
\tan x\sim x\quad\text{quando }x\to0,
isto é, \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1.

Passo 2

Observamos que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n}=0. Como \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1, vale também
\lim_{n\to\infty}\frac{\tan\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\tfrac{1}{n}}=1.

Passo 3

Reescrevendo
a_{n}=n\tan\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) =\frac{\tan\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\tfrac{1}{n}},
e tomando limite em n\to\infty, obtemos
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\tan\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\tfrac{1}{n}} =1.
Logo, a sequência converge e seu limite é 1.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=1.

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