Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
a_{n}=\frac{n!}{2^{n}} [Diverge]

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência
a_{n} = \frac{n!}{2^{n}}
e pede para verificar se ela é convergente ou divergente. Como envolve comparação de crescimento de fatorial e de uma potência, vamos usar a razão de termos consecutivos para tirar essa conclusão.

Passo 2

Calculamos a razão entre termos sucessivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{(n+1)!}{2^{\,n+1}}}{\frac{n!}{2^{\,n}}} = \frac{(n+1)!}{2^{\,n+1}}\;\frac{2^{\,n}}{n!} = \frac{n+1}{2}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2}=+\infty,
para n suficientemente grande temos \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1, o que indica que (a_{n}) torna-se crescente e fica sem limite superior.

Passo 3

Uma sequência que cresce indefinidamente e não possui limite superior diverge para +\infty. Portanto, (a_{n}) é divergente.

Resposta

A sequência diverge, isto é, \lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty.

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