Use a definição para provar que a sequência dada tem limite indicado. \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{3}{n-1}=0
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
Dá a sequência \left(\dfrac{3}{n-1}\right)_{n\ge2} (note que n=1 não é permitido pois daria divisão por zero).
Pede para provar, usando a definição de limite de sequência, que
\lim_{n\to+\infty}\frac{3}{n-1}=0.
Ou seja: provar que, para toda \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale \left|\dfrac{3}{n-1}-0\right|<\varepsilon.
Passo 2
Lembrete (definição formal usada):
A sequência (a_n) tem limite L quando n\to\infty se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|a_n-L|<\varepsilon.
Aqui a_n=\dfrac{3}{n-1} e L=0. Vamos aplicar exatamente essa definição.
Passo 3
Calcular a distância entre a_n e o candidato L=0:
\left|\frac{3}{n-1}-0\right|=\frac{3}{n-1}.
Queremos tornar \dfrac{3}{n-1}<\varepsilon. Vamos manipular essa desigualdade para isolar n.
Portanto, qualquer inteiro n que seja maior que \dfrac{3}{\varepsilon}+1 satisfaz a desigualdade desejada.
Passo 5
Garantir a existência de um N inteiro com essa propriedade.
Pela propriedade arquimediana (ou seja, pelo fato de que para todo número real existe um inteiro maior que ele), dado \varepsilon>0 existe um N\in\mathbb{N} tal que
N>\frac{3}{\varepsilon}+1.
Escolhendo esse N, para todo n\ge N temos n>\dfrac{3}{\varepsilon}+1, então n-1>\dfrac{3}{\varepsilon} e, em consequência,
\frac{3}{n-1}<\varepsilon.
Isso mostra exatamente que, para o \varepsilon dado, existe N que garante \left|\dfrac{3}{n-1}-0\right|<\varepsilon sempre que n\ge N.
Passo 6
Conclusão conforme a definição: como a escolha de \varepsilon>0 foi arbitrária e sempre conseguimos um N com a propriedade pedida, concluímos que