Determine se as seguintes séries convergem. Caso convirjam, calcule sua soma
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
e, caso ela convirja, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer que essa é uma série telescópica e usar soma parcial com limite para determinar a convergência e a soma.
e, caso ela convirja, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer que essa é uma série telescópica e usar soma parcial com limite para determinar a convergência e a soma.
Passo 2
Definimos a soma parcial até o termo
:
Analisar a série fica então em estudar o comportamento de
quando
.
Passo 3
Ao expandir
vemos o cancelamento telescópico:
Passo 4
Tomando o limite de
quando
,
Como o limite existe e é finito, a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série converge e