Determine se as seguintes séries convergem. Caso convirjam, calcule sua soma
sumn=1^infty(3raizn-3raizn+1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^inftyl(tfrac3raizn-tfrac3raizn+1r)
e, caso ela convirja, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer que essa é uma série telescópica e usar soma parcial com limite para determinar a convergência e a soma.

Passo 2

Definimos a soma parcial até o termo N:
SN = sumn=1^Nl(3raizn-3raizn+1r)
Analisar a série fica então em estudar o comportamento de SN quando Ntoinfty.

Passo 3

Ao expandir SN vemos o cancelamento telescópico:
SN = 3l(tfrac1raiz1-tfrac1raiz2+tfrac1raiz2-tfrac1raiz3+cdots+tfrac1raizN-tfrac1raizN+1r) =3l(1raiz1-1raizN+1r)

Passo 4

Tomando o limite de SN quando Ntoinfty,
limNtoinfty1raizN+1=0 Longrightarrow limNtoinftySN=3l(1-0r)=3
Como o limite existe e é finito, a série converge e sua soma é 3.

Resposta

A série converge e
sumn=1^inftyl(tfrac3raizn-tfrac3raizn+1r)=3

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