Determine o valor dos seguintes limites trigonométricos
lim x pi2 1-sen x(pi2-x)^2

Passo 1

Resumindo: precisamos achar
limx to pi2 1 - sin xl(tfracpi2-xr)^2
Esse é um caso de indeterminação 0/0 em limites trigonométricos. Vamos usar substituição e expansão para pequenos ângulos.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
h = pi2 - x
Quando x to tfracpi2, temos h to 0 e x = tfracpi2 - h. A expressão original vira
1 - sinl(tfracpi2-hr)h^2

Passo 3

Usando a identidade
sinl(tfracpi2-hr) = cos h,
o numerador fica 1 - cos h. Assim o limite se reescreve como
limhto0 1 - cos hh^2

Passo 4

Para pequenos h, a expansão de Taylor de cos h é
cos h = 1 - h^22 + o(h^2)
Logo
1 - cos h = h^22 + o(h^2)

Passo 5

Substituindo no quociente, obtemos
1 - cos hh^2 = tfrach^22 + o(h^2)h^2 ;longrightarrow; 12

Resposta

12

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