Determine o valor dos seguintes limites trigonométricos
lim x 0 cos x-cos 2 x1-cos x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0cos x-cos2x1-cos x
Esse é um caso de limite trigonométrico que, ao substituir x=0, dá forma indeterminada tfrac00. Para resolver, vamos usar identidades de cosseno e manipulação algébrica para simplificar.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=0:
cos0-cos(2cdot0)=1-1=0 e 1-cos0=1-1=0.
Logo obtemos tfrac00, sinal de que é preciso reescrever a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 3

Usamos a identidade
cos2x = 2cos^2x - 1
para reescrever o numerador:
cos x - cos2x = cos x - (2cos^2x - 1) = 1 + cos x - 2cos^2x

Passo 4

Fatoramos o numerador como
1 + cos x - 2cos^2x = -(2cos^2x - cos x -1) = -(2cos x +1)(cos x -1) = (2cos x +1)(1-cos x)
Assim a fração fica
cos x - cos2x1-cos x = (2cos x +1)(1-cos x)1-cos x = 2cos x +1,
válido para xneq0.

Passo 5

Agora basta tomar o limite de 2cos x +1 quando xto0:
limxto0(2cos x +1) = 2cos0 +1 = 2cdot1 +1 = 3

Resposta

3

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