Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
22.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!n!}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}\,n!\,n!}{(2n)!}
converge ou diverge. A informação relevante é o termo geral da série, que vou chamar de
a_n=\frac{2^{n}(n!)^2}{(2n)!}.
Queremos decidir se a soma das parcelas a_n para n=1,2,\dots tem um valor finito (converge) ou não (diverge).

Passo 2

Escolhendo o método: quando aparecem fatoriais é muito natural usar o teste da razão (teste de d’Alembert), porque a razão a_{n+1}/a_n simplifica bem com fatoriais. Vou usar esse teste porque é direto e dá a resposta com poucas contas. Depois eu comento uma interpretação alternativa (assintótica) só para consolidar a intuição.

Passo 3

Recordando o teste da razão (quem não lembra, calma — vou explicar): para uma série de termos positivos \sum a_n calcula-se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui as parcelas a_n são positivas, então podemos aplicar o teste diretamente.

Passo 4

Calcular a razão a_{n+1}/a_n passo a passo. Começando de
a_n=\frac{2^{n}(n!)^2}{(2n)!}, \qquad a_{n+1}=\frac{2^{n+1}\bigl((n+1)!\bigr)^2}{(2n+2)!}.
Então
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{2^{n+1}\bigl((n+1)!\bigr)^2}{(2n+2)!}\cdot\frac{(2n)!}{2^{n}(n!)^2}.
Agora simplifico usando \dfrac{2^{n+1}}{2^n}=2 e \dfrac{(n+1)!}{n!}=n+1, e também (2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!. Fazendo as cancelas:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =2\cdot\frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} =2\cdot\frac{(n+1)^2}{2(n+1)(2n+1)} =\frac{n+1}{2n+1}.

Passo 5

Calcular o limite da razão:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+1}.
Dividindo numerador e denominador por n obtemos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\tfrac{1}{n}}{2+\tfrac{1}{n}}=\frac{1}{2}.
Como L=\tfrac{1}{2}<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 6

Interpretação intutiva (opcional, mas ajuda a fixar): podemos escrever
a_n=\frac{2^n}{\binom{2n}{n}},
porque \binom{2n}{n}=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}. A aproximação clássica para o coeficiente binomial central é
\binom{2n}{n}\sim\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} \quad (n\to\infty),
logo
a_n\sim\frac{2^n}{4^n/\sqrt{\pi n}}=\frac{\sqrt{\pi n}}{2^n}.
Isto mostra que a_n decresce como \sqrt{n}/2^n, isto é, decresce exponencialmente (o fator 2^{-n}) com um polinômio \sqrt{n} multiplicando — portanto as parcelas vão a zero muito rápido e a soma converge. Esse argumento é compatível com o resultado do teste da razão.

Passo 7

Conclusão final: a série converge absolutamente (logo converge).

Resposta

A série converge (converge absolutamente).

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