Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
22.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!n!}{(2 n)!}
22.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!n!}{(2 n)!}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. A informação relevante é o termo geral da série, que vou chamar de
Queremos decidir se a soma das parcelas
para
tem um valor finito (converge) ou não (diverge).
Passo 2
Escolhendo o método: quando aparecem fatoriais é muito natural usar o teste da razão (teste de d’Alembert), porque a razão
simplifica bem com fatoriais. Vou usar esse teste porque é direto e dá a resposta com poucas contas. Depois eu comento uma interpretação alternativa (assintótica) só para consolidar a intuição.
Passo 3
Recordando o teste da razão (quem não lembra, calma — vou explicar): para uma série de termos positivos
calcula-se
Se
a série converge absolutamente; se
diverge; se
o teste é inconclusivo. Aqui as parcelas
são positivas, então podemos aplicar o teste diretamente.
Passo 4
Calcular a razão
passo a passo. Começando de
Então
Agora simplifico usando
e
, e também
. Fazendo as cancelas:
Passo 5
Calcular o limite da razão:
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Como
, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.
Passo 6
Interpretação intutiva (opcional, mas ajuda a fixar): podemos escrever
porque
. A aproximação clássica para o coeficiente binomial central é
logo
Isto mostra que
decresce como
, isto é, decresce exponencialmente (o fator
) com um polinômio
multiplicando — portanto as parcelas vão a zero muito rápido e a soma converge. Esse argumento é compatível com o resultado do teste da razão.
Passo 7
Conclusão final: a série converge absolutamente (logo converge).
Resposta
A série converge (converge absolutamente).