Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
15.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{\ln n}
15.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{\ln n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Observação importante:
, logo o termo para
não está definido; por isso devemos interpretar a série como começando em
:
O que se quer: saber se a soma infinita dos termos
converge (temum valor finito) ou diverge.
Passo 2
Lembrete essencial (teste necessário): se uma série
converge, então os termos
devem tender a zero quando
. Em símbolos:
Isso é uma condição necessária (mas não suficiente). Portanto, um modo rápido de mostrar divergência é verificar que os termos não tendem a zero.
Passo 3
Defina
. Vamos estudar o limite
Para avaliar esse limite é conveniente passar para uma função contínua
e estudar
. É mais simples analisar o comportamento do recíproco:
Aplicando a Regra de l’Hôpital (forma
invertida para mostrar que o quociente vai a
), derivamos numerador e denominador:
Assim,
Como o limite do recíproco é
, o limite original é infinito:
Portanto
Passo 4
Como
(na verdade tende a
), a condição necessária para convergência falha. Conclusão: a série
não pode convergir — ela diverge.
Passo 5
Resumo didático e intuitivo: o numerador
cresce como uma potência de
enquanto o denominador
cresce muito mais devagar; portanto os termos não ficam pequenos, crescem sem limite, então somá-los dá algo divergente. Não se assuste — sempre que os termos não tendem a zero, a série diverge imediatamente.
Resposta
Diverge.