Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
15.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{\ln n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{\ln n}
converge ou diverge. Observação importante: \ln 1=0, logo o termo para n=1 não está definido; por isso devemos interpretar a série como começando em n=2:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{\ln n}.
O que se quer: saber se a soma infinita dos termos \dfrac{\sqrt{n}}{\ln n} converge (temum valor finito) ou diverge.

Passo 2

Lembrete essencial (teste necessário): se uma série \sum_{n} a_n converge, então os termos a_n devem tender a zero quando n\to\infty. Em símbolos:
\text{Se }\sum_{n=1}^{\infty} a_n\\ \text{converge, então }\lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Isso é uma condição necessária (mas não suficiente). Portanto, um modo rápido de mostrar divergência é verificar que os termos não tendem a zero.

Passo 3

Defina a_n=\dfrac{\sqrt{n}}{\ln n}. Vamos estudar o limite
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{\ln n}.
Para avaliar esse limite é conveniente passar para uma função contínua f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{\ln x} e estudar \lim_{x\to\infty} f(x). É mais simples analisar o comportamento do recíproco:
\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}.
Aplicando a Regra de l’Hôpital (forma \tfrac{\infty}{\infty} invertida para mostrar que o quociente vai a 0), derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x},\qquad \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Assim,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{(1/2)x^{-1/2}} =\lim_{x\to\infty}2x^{-1/2}=0.
Como o limite do recíproco é 0, o limite original é infinito:
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{\ln x}=+\infty.
Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (na verdade tende a +\infty), a condição necessária para convergência falha. Conclusão: a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{\ln n}
não pode convergir — ela diverge.

Passo 5

Resumo didático e intuitivo: o numerador \sqrt{n} cresce como uma potência de n enquanto o denominador \ln n cresce muito mais devagar; portanto os termos não ficam pequenos, crescem sem limite, então somá-los dá algo divergente. Não se assuste — sempre que os termos não tendem a zero, a série diverge imediatamente.

Resposta

Diverge.

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