Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
19.)
\sum_{n=1}{\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right){n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n^{2}}
converge ou diverge. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A série é a soma dos termos a_n=\left(1-\dfrac{2}{n}\right)^{n^{2}} para n=1,2,3,\dots.
  • Observação prática: \left(1-\dfrac{2}{1}\right)^{1}=-1 e \left(1-\dfrac{2}{2}\right)^{4}=0, enquanto para n\ge3 temos 1-\dfrac{2}{n}>0 (ou seja, os termos são positivos a partir de n=3).
    O objetivo é decidir se a soma dos a_n converge (e, se possível, se converge absolutamente).

Passo 2

Vamos analisar o comportamento assintótico dos termos a_n para grandes n. Uma ferramenta muito eficaz para séries cujos termos têm potência com n no expoente é o teste da raiz (root test). Vou explicar o teste da raiz de forma direta e intuitiva:
  • Teste da raiz: seja a_n uma sequência de números reais. Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Se L<1 a série \sum a_n converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui geralmente o \limsup será, para a nossa sequência, na verdade um limite simples, o que facilita.

Passo 3

Calculemos \sqrt[n]{|a_n|}. Como a_n=\left(1-\dfrac{2}{n}\right)^{n^{2}}, temos
\sqrt[n]{|a_n|}=\left|\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n^{2}}\right|^{1/n} =\exp\!\Big(\frac{n^{2}}{n}\ln\!\Big|1-\frac{2}{n}\Big|\Big) =\exp\!\big(n\ln\!\big|1-\tfrac{2}{n}\big|\big).
Portanto precisamos avaliar o limite
\lim_{n\to\infty}\exp\!\big(n\ln\!\big|1-\tfrac{2}{n}\big|\big) =\exp\!\Big(\lim_{n\to\infty} n\ln\!\big|1-\tfrac{2}{n}\big|\Big),
caso o limite interno exista.

Passo 4

Calculemos \lim_{n\to\infty} n\ln\!\big(1-\tfrac{2}{n}\big). Use o fato padrão de limites: para u\to0 vale \dfrac{\ln(1+u)}{u}\to1. Tomando u=-\dfrac{2}{n} (que tende a 0 quando n\to\infty), obtemos
\frac{\ln\!\big(1-\tfrac{2}{n}\big)}{-\tfrac{2}{n}}\longrightarrow 1.
Multiplicando ambos os lados por -2 (ou reescrevendo diretamente),
n\ln\!\big(1-\tfrac{2}{n}\big)=\frac{\ln\!\big(1-\tfrac{2}{n}\big)}{1/n}\longrightarrow -2.
Logo
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\exp(-2)=e^{-2}.

Passo 5

Aplicando o teste da raiz: como
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=e^{-2}<1,
concluímos que a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge absolutamente. (Se quiser uma intuição extra: isso mostra que a_n decai essencialmente como uma constante vezes e^{-2n}, ou seja, exponencialmente, então a soma se comporta como uma série geométrica convergente.)

Resposta

A série converge absolutamente.

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