converge ou diverge. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A série é a soma dos termos a_n=\left(1-\dfrac{2}{n}\right)^{n^{2}} para n=1,2,3,\dots.
Observação prática: \left(1-\dfrac{2}{1}\right)^{1}=-1 e \left(1-\dfrac{2}{2}\right)^{4}=0, enquanto para n\ge3 temos 1-\dfrac{2}{n}>0 (ou seja, os termos são positivos a partir de n=3).
O objetivo é decidir se a soma dos a_n converge (e, se possível, se converge absolutamente).
Passo 2
Vamos analisar o comportamento assintótico dos termos a_n para grandes n. Uma ferramenta muito eficaz para séries cujos termos têm potência com n no expoente é o teste da raiz (root test). Vou explicar o teste da raiz de forma direta e intuitiva:
Teste da raiz: seja a_n uma sequência de números reais. Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Se L<1 a série \sum a_n converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui geralmente o \limsup será, para a nossa sequência, na verdade um limite simples, o que facilita.
Passo 3
Calculemos \sqrt[n]{|a_n|}. Como a_n=\left(1-\dfrac{2}{n}\right)^{n^{2}}, temos
Calculemos \lim_{n\to\infty} n\ln\!\big(1-\tfrac{2}{n}\big). Use o fato padrão de limites: para u\to0 vale \dfrac{\ln(1+u)}{u}\to1. Tomando u=-\dfrac{2}{n} (que tende a 0 quando n\to\infty), obtemos
concluímos que a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge absolutamente. (Se quiser uma intuição extra: isso mostra que a_n decai essencialmente como uma constante vezes e^{-2n}, ou seja, exponencialmente, então a soma se comporta como uma série geométrica convergente.)