Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
24.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n+1)!}{n!}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n+1)!}{n!}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série é \dfrac{(2n+1)!}{n!}.
  • A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série.

Passo 2

Primeiro lembrete importante (regra necessária): se uma série numérica
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge, então o termo geral satisfaz
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), a série diverge imediatamente. Vamos verificar o comportamento do termo geral aqui. Defina
a_n=\frac{(2n+1)!}{n!}.

Passo 3

Para ter intuição, calculemos alguns termos iniciais (só para ver que acontece):
a_1=\frac{3!}{1!}=6,\qquad a_2=\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60,\qquad a_3=\frac{7!}{3!}=\frac{5040}{6}=840.
Os valores já estão aumentando rapidamente — isso sugere que a_n não tende a zero. Para uma conclusão rigorosa, usemos um teste adequado.

Passo 4

Vamos aplicar o critério da razão (teste da razão), que é muito útil quando aparecem fatoriais. Enunciado do teste da razão (versão usada):
Sejam a_n>0. Defina
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Se L>1 (ou L=\infty), a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui esperamos obter L>1.

Passo 5

Calculemos a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} passo a passo:
a_{n+1}=\frac{(2(n+1)+1)!}{(n+1)!}=\frac{(2n+3)!}{(n+1)!}.
Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(2n+3)!}{(n+1)!}}{\dfrac{(2n+1)!}{n!}} = \frac{(2n+3)!}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{(2n+1)!}.
Agora use a relação (2n+3)!=(2n+3)(2n+2)(2n+1)! e (n+1)!= (n+1)n!. Substituindo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+3)(2n+2)(2n+1)!}{(n+1)n!}\cdot\frac{n!}{(2n+1)!} = \frac{(2n+3)(2n+2)}{n+1}.

Passo 6

Simplifiquemos e tomemos o limite quando n\to\infty:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+3)(2n+2)}{n+1}=\frac{4n^2+10n+6}{n+1}.
Dividindo numerador e denominador por n para ver o comportamento assintótico,
\frac{4n^2+10n+6}{n+1}= \frac{n(4n+10+\tfrac{6}{n})}{n(1+\tfrac{1}{n})} \longrightarrow \frac{4n+10+0}{1+0}=+\infty
quando n\to\infty. Em termos mais simples: o quociente cresce como aproximadamente 4n, portanto tende a +\infty.

Passo 7

Pela conclusão acima, o limite L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=+\infty, que é maior que 1. Pelo teste da razão, isso implica que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n+1)!}{n!}
diverge. Alternativamente, uma consequência imediata é que a_n não tende a zero (na verdade tende a +\infty), então a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados