Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
24.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n+1)!}{n!}
24.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n+1)!}{n!}
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral da série é
. - A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série.
Passo 2
Primeiro lembrete importante (regra necessária): se uma série numérica
converge, então o termo geral satisfaz
Se
(ou não existe), a série diverge imediatamente. Vamos verificar o comportamento do termo geral aqui. Defina
Passo 3
Para ter intuição, calculemos alguns termos iniciais (só para ver que acontece):
Os valores já estão aumentando rapidamente — isso sugere que
não tende a zero. Para uma conclusão rigorosa, usemos um teste adequado.
Passo 4
Vamos aplicar o critério da razão (teste da razão), que é muito útil quando aparecem fatoriais. Enunciado do teste da razão (versão usada):
Sejam . Defina
Sejam
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
(ou ), a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui esperamos obter.
Passo 5
Calculemos a razão
passo a passo:
Portanto
Agora use a relação
e
. Substituindo:
Passo 6
Simplifiquemos e tomemos o limite quando
:
Dividindo numerador e denominador por
para ver o comportamento assintótico,
quando
. Em termos mais simples: o quociente cresce como aproximadamente
, portanto tende a
.
Passo 7
Pela conclusão acima, o limite
, que é maior que
. Pelo teste da razão, isso implica que a série
diverge. Alternativamente, uma consequência imediata é que
não tende a zero (na verdade tende a
), então a série não pode convergir.
Resposta
A série diverge.