5 Encontrar o fluxo da parte rotacional do campo vetorial F=\left(z x+z^{2} y+x, z^{3} y x+\right. \left.y, z^{4} x^{2}\right) através da superfície aberta definida pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 com 0 \leq z \leq 1 e uma porção do plano z=0 \operatorname{com} x^{2}+y^{2} \leq 1, com orientação normal exterior.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O campo vetorial é F=(P,Q,R) com P=z x+z^{2}y+x,\qquad Q=z^{3} y x+y,\qquad R=z^{4}x^{2}.
  • A superfície considerada é a união de duas partes:
    • a parte lateral do cilindro \,x^{2}+y^{2}=1 com 0\le z\le1, e
    • a porção do plano \,z=0 com x^{2}+y^{2}\le1.
  • A orientação pedida é a normal exterior ao volume sólido limitado pelo cilindro e pelos discos (ou seja, normais apontando para fora do cilindro).
  • O que o enunciado pede: calcular o fluxo da parte rotacional do campo vetorial através dessa superfície. Interpreto “parte rotacional” como o rotacional do campo, isto é \nabla\times F, e portanto precisamos calcular \iint_{S}(\nabla\times F)\cdot n\,dS,onde S é a superfície formada pela lateral do cilindro mais o disco em z=0 e n é o vetor normal exterior.

Passo 2

Recordando a definição do rotacional (curl): para F=(P,Q,R),
\nabla\times F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Aqui cada derivada parcial é tomada mantendo as outras variáveis fixas. Vou calcular cada componente passo a passo.
Calcular \dfrac{\partial R}{\partial y} e \dfrac{\partial Q}{\partial z}:
R=z^{4}x^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial R}{\partial y}=0,
Q=z^{3} y x+y\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=3z^{2}xy.
Portanto a primeira componente é
(\nabla\times F)_1=\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0-3x y z^{2}=-3x y z^{2}.
Calcular \dfrac{\partial P}{\partial z} e \dfrac{\partial R}{\partial x}:
P=z x+z^{2}y+x\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial z}=x+2yz,
\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(z^{4}x^{2})=2x z^{4}.
Assim a segunda componente é
(\nabla\times F)_2=\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=x+2yz-2x z^{4}=x(1-2z^{4})+2yz.
Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial Q}{\partial x}=z^{3}y,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=z^{2}.
Logo a terceira componente é
(\nabla\times F)_3=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=z^{3}y-z^{2}=z^{2}(y z-1).
Reunindo, o rotacional é
\nabla\times F=\big(-3x y z^{2},\;x+2yz-2x z^{4},\;z^{2}(y z-1)\big).

Passo 3

Estratégia para avaliar o fluxo pela superfície lateral + disco em z=0:
  • Note que \nabla\cdot(\nabla\times F)=0 sempre. Isso implica que o fluxo do rotacional por uma superfície fechada que envolve um volume é zero (teorema da divergência aplicado a \nabla\times F).
  • A superfície dada (lateral + disco em z=0) não é fechada: falta o disco superior em z=1. Seja S_{\text{lat+bot}} a superfície pedida (lateral + disco z=0) e seja S_{\text{top}} o disco em z=1 com x^{2}+y^{2}\le1.
  • Se considerarmos a superfície fechada S_{\text{fechada}}=S_{\text{lat+bot}}\cup S_{\text{top}} com orientação exterior, pelo que disse acima vale \iint_{S_{\text{fechada}}}(\nabla\times F)\cdot n\,dS=0.
  • Assim \iint_{S_{\text{lat+bot}}}(\nabla\times F)\cdot n\,dS + \iint_{S_{\text{top}}}(\nabla\times F)\cdot n\,dS=0,o que dá \iint_{S_{\text{lat+bot}}}(\nabla\times F)\cdot n\,dS = -\iint_{S_{\text{top}}}(\nabla\times F)\cdot n\,dS.
  • Portanto basta calcular o fluxo do rotacional através do disco em z=1 (o topo) e trocar o sinal.
(Explicação curta do porquê: é muito comum usar essa artimanha quando a região original não é fechada — adiciona-se uma superfície que fecha o volume, usa-se que div(curl)=0, e obtém-se a relação acima.)

Passo 4

Calcular o fluxo através do disco superior S_{\text{top}} em z=1, com x^{2}+y^{2}\le1. Para esse disco a normal exterior ao volume é o vetor unitário \mathbf{k}=(0,0,1). Assim
(\nabla\times F)\cdot n = (\nabla\times F)_3.
Avalio a terceira componente do rotacional em z=1:
(\nabla\times F)_3\big|_{z=1}=1^{2}(y\cdot1-1)=y-1.
Logo o fluxo pelo disco é
\iint_{S_{\text{top}}}(\nabla\times F)\cdot n\,dS=\iint_{D}(y-1)\,dA,
onde D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.
Calculo as duas integrais que aparecem separadas:
  • \displaystyle \iint_{D} y\,dA = 0 por simetria, pois o disco é simétrico em relação ao eixo x e a função y é ímpar em y.
  • \displaystyle \iint_{D} 1\,dA = \text{área}(D)=\pi\cdot 1^{2}=\pi.á
Portanto
\iint_{S_{\text{top}}}(\nabla\times F)\cdot n\,dS = 0 - \pi = -\pi.

Passo 5

Usando a relação do Passo 3,
\iint_{S_{\text{lat+bot}}}(\nabla\times F)\cdot n\,dS = -\iint_{S_{\text{top}}}(\nabla\times F)\cdot n\,dS = -(-\pi)=\pi.

Resposta

\pi

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