5 Encontrar o fluxo da parte rotacional do campo vetorial F=\left(z x+z^{2} y+x, z^{3} y x+\right.\left.y, z^{4} x^{2}\right) através da superfície aberta definida pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 com 0 \leq z \leq 1 e uma porção do plano z=0 \operatorname{com} x^{2}+y^{2} \leq 1, com orientação normal exterior.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O campo vetorial é F=(P,Q,R) comP=z x+z^{2}y+x,\qquad Q=z^{3} y x+y,\qquad R=z^{4}x^{2}.
A superfície considerada é a união de duas partes:
a parte lateral do cilindro \,x^{2}+y^{2}=1 com 0\le z\le1, e
a porção do plano \,z=0 com x^{2}+y^{2}\le1.
A orientação pedida é a normal exterior ao volume sólido limitado pelo cilindro e pelos discos (ou seja, normais apontando para fora do cilindro).
O que o enunciado pede: calcular o fluxo da parte rotacional do campo vetorial através dessa superfície. Interpreto “parte rotacional” como o rotacional do campo, isto é \nabla\times F, e portanto precisamos calcular\iint_{S}(\nabla\times F)\cdot n\,dS,onde S é a superfície formada pela lateral do cilindro mais o disco em z=0 e n é o vetor normal exterior.
Passo 2
Recordando a definição do rotacional (curl): para F=(P,Q,R),
\nabla\times F=\big(-3x y z^{2},\;x+2yz-2x z^{4},\;z^{2}(y z-1)\big).
Passo 3
Estratégia para avaliar o fluxo pela superfície lateral + disco em z=0:
Note que \nabla\cdot(\nabla\times F)=0 sempre. Isso implica que o fluxo do rotacional por uma superfície fechada que envolve um volume é zero (teorema da divergência aplicado a \nabla\times F).
A superfície dada (lateral + disco em z=0) não é fechada: falta o disco superior em z=1. Seja S_{\text{lat+bot}} a superfície pedida (lateral + disco z=0) e seja S_{\text{top}} o disco em z=1 com x^{2}+y^{2}\le1.
Se considerarmos a superfície fechada S_{\text{fechada}}=S_{\text{lat+bot}}\cup S_{\text{top}} com orientação exterior, pelo que disse acima vale\iint_{S_{\text{fechada}}}(\nabla\times F)\cdot n\,dS=0.
Portanto basta calcular o fluxo do rotacional através do disco em z=1 (o topo) e trocar o sinal.
(Explicação curta do porquê: é muito comum usar essa artimanha quando a região original não é fechada — adiciona-se uma superfície que fecha o volume, usa-se que div(curl)=0, e obtém-se a relação acima.)
Passo 4
Calcular o fluxo através do disco superior S_{\text{top}} em z=1, com x^{2}+y^{2}\le1. Para esse disco a normal exterior ao volume é o vetor unitário \mathbf{k}=(0,0,1). Assim
(\nabla\times F)\cdot n = (\nabla\times F)_3.
Avalio a terceira componente do rotacional em z=1: