Seja z=f(u-2 v, v+2 u), onde f tem 2 derivadas parciais contínuas. Expresse partial^2 zpartial u^2 em termos das derivadas parciais de f.

Passo 1

O enunciado dá uma função composta z = f(u - 2v, v + 2u) e pede a segunda derivada parcial partial^2 zpartial u^2. Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, calculamos partial zpartial u. Aplicando a regra da cadeia: derivamos f em relação ao 1º argumento e ao 2º argumento, multiplicando pelas derivadas internas de cada um:
partial zpartial u = fx(u-2v,v+2u) cdot partial (u-2v)partial u + fy(u-2v,v+2u) cdot partial (v+2u)partial u = fx + 2fy

Passo 3

Agora derivamos novamente em relação a u. De novo pela regra da cadeia, para cada termo da soma:
  • partialpartial u[fx(u-2v,v+2u)] = fxx cdot 1 + fxy cdot 2
  • partialpartial u[2fy(u-2v,v+2u)] = 2l(fyx cdot 1 + fyy cdot 2r)

Passo 4

Somando esses resultados e usando fxy=fyx (derivadas cruzadas contínuas), obtemos a expressão final:

Resposta

partial^2 zpartial u^2 = fxx(u-2v,,v+2u) + 4,fxy(u-2v,,v+2u) + 4,fyy(u-2v,,v+2u)

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