Seja
, onde
tem 2 derivadas parciais contínuas. Expresse
em termos das derivadas parciais de
.
Passo 1
O enunciado dá uma função composta z = f(u - 2v, v + 2u) e pede a segunda derivada parcial
. Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, calculamos
. Aplicando a regra da cadeia: derivamos f em relação ao 1º argumento e ao 2º argumento, multiplicando pelas derivadas internas de cada um:
Passo 3
Agora derivamos novamente em relação a
. De novo pela regra da cadeia, para cada termo da soma:
Passo 4
Somando esses resultados e usando
(derivadas cruzadas contínuas), obtemos a expressão final: