Determine se as seguintes séries convergem usando os testes da razão ou da raiz: i) sumk=1^infty a^kk!, a>0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série sumk=1^infty a^kk! com a>0, usando o teste da razão ou da raiz. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos precisar do teste da razão (ou, alternativamente, do teste da raiz) para séries de termos positivos.

Passo 2

O teste da razão diz que, se para o termo geral uk da série sum uk o limite L = limktoinfty l|uk+1/ukr| existir e for menor que 1, então a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Aqui temos uk = dfraca^kk!. Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
uk+1uk = a^k+1/(k+1)!a^k/k! = a^k+1(k+1)! cdot k!a^k = ak+1

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando ktoinfty:
L = limktoinfty ak+1 = 0
Como 0<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente.

Passo 5

Portanto, a série sumk=1^infty a^kk! converge para todo a>0.

Resposta

A série converge (convergência absoluta) para todo a>0, pois no teste da razão o limite é 0<1.

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