Encontre f^prime(x) para o seguinte caso:
f(x)=2 cos (x) raizx

Passo 1

Nesse exercício vamos achar a derivada de f(x)=2 cos(x) √x, aplicando a regra do produto e as derivadas de cos(x) e de √x.

Passo 2

Pela regra do produto, se f(x)=u(x)v(x) então f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x). Aqui u(x)=2 cos(x) e v(x)=√x. Temos u’(x)=2·(−sin(x))=−2 sin(x) e v’(x)= 12√x.

Passo 3

Substituindo em f’(x) e fatorando 2:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(-2sin(x))√x + 2cos(x)cdot12√x

Passo 4

Agora simplificamos:
f'(x)=-2√x,sin(x)+2cos(x)2√x=-2√x,sin(x)+cos(x)√x

Resposta

f’(x) = -2\sqrt{x},\sin(x) + \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}}

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