Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
10.)
\sum_{j=2}^{\infty} \frac{(-1)^{-j} 2^{2 j}}{6^{j+3}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{j=2}^{\infty} \frac{(-1)^{-j}\,2^{2j}}{6^{j+3}}
e, caso ela convirja, calcular sua soma. O conteúdo aqui é o de séries geométricas (com razão constante), que convergem se, e somente se, o módulo da razão for menor que 1.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral. Primeiro, note que
(-1)^{-j} = \frac1{(-1)^j} = (-1)^j,
pois (-1)^j=\pm1. Além disso,
2^{2j} = (2^2)^j = 4^j.
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\frac{(-1)^{-j}\,2^{2j}}{6^{j+3}} = \frac{(-1)^j\,4^j}{6^{j+3}} = \frac{1}{6^3}\;\frac{(-1)^j\,4^j}{6^j} = \frac{1}{216}\;(-1)^j\Bigl(\frac{4}{6}\Bigr)^j = \frac{1}{216}\;\Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr)^j.

Passo 3

Portanto a série fica
\sum_{j=2}^{\infty}\frac{(-1)^{-j}\,2^{2j}}{6^{j+3}} =\frac{1}{216}\sum_{j=2}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)^j.
Isto é uma série geométrica de razão \displaystyle r=-\tfrac{2}{3}
e primeiro termo (para j=2) igual a \displaystyle \Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)^2=\tfrac{4}{9}.

Passo 4

Uma série geométrica \sum_{j=2}^\infty r^j converge se \lvert r\rvert<1, e sua soma é
\sum_{j=2}^\infty r^j =\frac{r^2}{1-r}.
Aqui \lvert r\rvert=\tfrac{2}{3}<1, logo há convergência.

Passo 5

Aplicando a fórmula com r=-\tfrac{2}{3}:
\sum_{j=2}^\infty\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)^j =\frac{\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^2}{1-(-\tfrac{2}{3})} =\frac{\tfrac{4}{9}}{1+\tfrac{2}{3}} =\frac{4/9}{5/3} =\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{5} =\frac{4}{15}.
Multiplicando pelo fator \tfrac1{216}, obtemos
\frac{1}{216}\cdot\frac{4}{15} =\frac{4}{3240} =\frac{1}{810}.

Resposta

A série converge e sua soma é \displaystyle \frac{1}{810}.

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