Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
10.)
10.)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, caso ela convirja, calcular sua soma. O conteúdo aqui é o de séries geométricas (com razão constante), que convergem se, e somente se, o módulo da razão for menor que 1.
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral. Primeiro, note que
pois
. Além disso,
Logo
Passo 3
Portanto a série fica
Isto é uma série geométrica de razão
e primeiro termo (para ) igual a
e primeiro termo (para
Passo 4
Uma série geométrica
converge se
, e sua soma é
Aqui
, logo há convergência.
Passo 5
Aplicando a fórmula com
:
Multiplicando pelo fator
, obtemos
Resposta
A série converge e sua soma é