Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
9.)
\sum_{n=2}^{\infty}(-4)^{n-2} 5^{4-n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-4)^{n-2}\,5^{4-n}
e, se ela convergir, calcular sua soma. O conteúdo here é séries geométricas: vamos reescrever o termo geral na forma de uma constante vezes uma razão r elevada a uma potência, verificar \lvert r\rvert<1 e usar a fórmula da soma.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral
a_n = (-4)^{n-2}\,5^{4-n}.
Reescrevendo 5^{4-n}=5^2\cdot5^{- (n-2)}=25\cdot5^{-(n-2)}, obtemos
a_n = 25\,(-4)^{n-2}\,5^{-(n-2)} = 25\bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr)^{\,n-2}.

Passo 3

Identificamos que a série é
\sum_{n=2}^{\infty}a_n \;=\; 25\sum_{n=2}^{\infty}\bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr)^{\,n-2}.
Fazendo a mudança de índice k=n-2, isso vira
25\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr)^{k}.
Aqui a razão é r=-\tfrac{4}{5} e \lvert r\rvert=\tfrac{4}{5}<1, logo a série converge (critério da série geométrica).

Passo 4

Para a soma de uma geométrica começando em k=0 temos
\sum_{k=0}^{\infty}r^k = \frac{1}{1-r}.
Então
\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr)^{k} = \frac{1}{1-(-4/5)} = \frac{1}{1+4/5} = \frac{1}{9/5} = \frac{5}{9}.
Multiplicando pelo fator 25 resulta
25\cdot\frac{5}{9} = \frac{125}{9}.

Resposta

A série converge e sua soma é \displaystyle \frac{125}{9}.

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