Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
\left\{\frac{(-1)^{n} 3 n^{2}}{n^{2}+4 n+5}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência \displaystyle a_n = \frac{(-1)^{n}\,3n^{2}}{n^{2}+4n+5}.
O conteúdo envolvido é limite de sequência e uso de fatoração para determinar o comportamento assintótico.

Passo 2

Para estudar o limite de a_n, fatoramos n^2 em numerador e denominador. Temos
a_n = \frac{(-1)^n\,3n^2}{n^2+4n+5} = (-1)^n \,\frac{3n^2}{n^2\bigl(1+\tfrac{4}{n}+\tfrac{5}{n^2}\bigr)} = (-1)^n \,\frac{3}{1+\tfrac{4}{n}+\tfrac{5}{n^2}}.
Quando n\to\infty, \tfrac{4}{n}\to0 e \tfrac{5}{n^2}\to0, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{3}{1+\tfrac{4}{n}+\tfrac{5}{n^2}} = 3.

Passo 3

O fator (-1)^n faz a sequência oscilar entre valores positivos e negativos. De fato:
  • Para n=2k, (-1)^{2k}=1 e a_{2k}\to 3.
  • Para n=2k+1, (-1)^{2k+1}=-1 e a_{2k+1}\to -3.

Passo 4

Como as duas subsequências \{a_{2k}\} e \{a_{2k+1}\} têm limites diferentes 3 e -3, a sequência completa não tem limite único. Portanto ela não converge.

Resposta

A sequência diverge.

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