Use escalonamento para classificar (quanto a S I, S P D ou S P I ), os sistemas abaixo e apresente o conjunto solução quando existir:
\left\{\begin{array}{l}2 a-3 b+c=2 \\\\ 3 a+2 c=0 \\\\ 5 b-2 d=-5 \\\ b-c+d=-4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: classificar o sistema e, quando existir, apresentar o conjunto solução. As equações dadas são:
\begin{cases} 2a-3b+c=2,\\[4pt] 3a+2c=0,\\[4pt] 5b-2d=-5,\\[4pt] b-c+d=-4. \end{cases}
Variáveis envolvidas: a,\;b,\;c,\;d. Não vou resolver ainda — só listei o que o problema pede e todos os dados fornecidos.]

Passo 2

Vou organizar o sistema em matriz aumentada para operar de forma ordenada. Escolhi a ordem de variáveis (a,b,c,d). A matriz aumentada correspondente é
\left(\begin{array}{rrrr|r} 2 & -3 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 3 & 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 5 & 0 & -2 & -5\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & -4 \end{array}\right).
Breve lembrete didático sobre operações elementares (importante para o escalonamento): podemos trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo, ou somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema e são usadas para obter uma matriz escalonada (triangular), da qual fazemos a substituição regressiva para achar as incógnitas.]

Passo 3

Primeiro objetivo: zerar a entrada a (coluna 1) da segunda linha usando a primeira linha como pivô. Temos 2 em R_1 e 3 em R_2. Faço
R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{3}{2}R_1.
Calculando componente a componente:
R_2 = \big(3,0,2,0\mid 0\big) - \tfrac{3}{2}\big(2,-3,1,0\mid 2\big) = \big(0,\tfrac{9}{2},\tfrac{1}{2},0\mid -3\big).
Para evitar frações, multiplico a linha resultante por 2:
R_2 \leftarrow 2R_2 = \big(0,9,1,0\mid -6\big).
As demais linhas já têm zero na coluna a, então a matriz atual fica
\left(\begin{array}{rrrr|r} 2 & -3 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 9 & 1 & 0 & -6\\[4pt] 0 & 5 & 0 & -2 & -5\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & -4 \end{array}\right).]

Passo 4

Agora uso a segunda linha com pivô 9 para zerar as outras entradas da coluna b.
Primeiro elimino o -3 em R_1. Faço
R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{1}{3}R_2.
Porque -3 + \tfrac{1}{3}\cdot 9 =0. Calculando:
\tfrac{1}{3}R_2 = \big(0,3,\tfrac{1}{3},0\mid -2\big),
R_1 = \big(2,-3,1,0\mid 2\big) + \big(0,3,\tfrac{1}{3},0\mid -2\big) = \big(2,0,\tfrac{4}{3},0\mid 0\big).
Para limpar o denominador, multiplico R_1 por 3:
R_1 \leftarrow 3R_1 = \big(6,0,4,0\mid 0\big).
Agora elimino o 5 em R_3 com
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{5}{9}R_2.
Cálculo rápido:
\tfrac{5}{9}R_2 = \big(0,5,\tfrac{5}{9},0\mid -\tfrac{10}{3}\big),
R_3 = \big(0,5,0,-2\mid -5\big) - \big(0,5,\tfrac{5}{9},0\mid -\tfrac{10}{3}\big) = \big(0,0,-\tfrac{5}{9},-2\mid -\tfrac{5}{3}\big).
Multiplico R_3 por -9 para eliminar denominares e sinal:
R_3 \leftarrow -9R_3 = \big(0,0,5,18\mid 15\big).
Agora elimino o 1 em R_4 (coluna b) com
R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{1}{9}R_2.
\tfrac{1}{9}R_2 = \big(0,1,\tfrac{1}{9},0\mid -\tfrac{2}{3}\big),
R_4 = \big(0,1,-1,1\mid -4\big) - \big(0,1,\tfrac{1}{9},0\mid -\tfrac{2}{3}\big) = \big(0,0,-\tfrac{10}{9},1\mid -\tfrac{10}{3}\big).
Multiplico R_4 por 9 para eliminar denominadores:
R_4 \leftarrow 9R_4 = \big(0,0,-10,9\mid -30\big).
Após essas operações a matriz é
\left(\begin{array}{rrrr|r} 6 & 0 & 4 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 9 & 1 & 0 & -6\\[4pt] 0 & 0 & 5 & 18 & 15\\[4pt] 0 & 0 & -10 & 9 & -30 \end{array}\right).]

Passo 5

Agora uso a terceira linha (pivô 5 na coluna c) para zerar o -10 em R_4. Faço
R_4 \leftarrow R_4 + 2R_3,
porque -10 + 2\cdot 5 = 0. Calculando:
2R_3 = \big(0,0,10,36\mid 30\big),
R_4 = \big(0,0,-10,9\mid -30\big) + \big(0,0,10,36\mid 30\big) = \big(0,0,0,45\mid 0\big).
A matriz ficou triangular (escalonada superior):
\left(\begin{array}{rrrr|r} 6 & 0 & 4 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 9 & 1 & 0 & -6\\[4pt] 0 & 0 & 5 & 18 & 15\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 45 & 0 \end{array}\right).]

Passo 6

Agora faço a substituição regressiva (resolução a partir da última equação para cima).
A última linha dá
45d=0 \quad\Rightarrow\quad d=0.
Substituo em R_3:
5c+18d=15 \quad\Rightarrow\quad 5c+18\cdot 0=15 \quad\Rightarrow\quad c=3.
Substituo em R_2:
9b + 1\cdot c = -6 \quad\Rightarrow\quad 9b + 3 = -6 \quad\Rightarrow\quad 9b = -9 \quad\Rightarrow\quad b = -1.
Substituo em R_1:
6a + 4c = 0 \quad\Rightarrow\quad 6a + 4\cdot 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad 6a + 12 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = -2.

Passo 7

Interpretação final: obtemos uma solução única (a,b,c,d)=(-2,-1,3,0). Quando um sistema linear tem exatamente uma solução ele é classificado como “sistema possível determinado” (S P D). (Se tivesse nenhuma solução seria “S I”; se tivesse infinitas soluções seria “S P I”.)

Resposta

S P D
(a,b,c,d)=(-2,-1,3,0)

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