Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta:
\sum_{n=1} \frac{3^{n}}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{2^{n}}.
O conteúdo é séries infinitas e, em particular, séries geométricas. Para resolver, vamos reconhecer o tipo da série e aplicar o critério de convergência para séries geométricas.

Passo 2

Observamos que o termo geral pode ser escrito como
a_{n}=\frac{3^{n}}{2^{n}}=\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{n}.
Isso mostra que é uma série geométrica de razão
r=\frac{3}{2}.

Passo 3

O critério de convergência para série geométrica diz que
\sum_{n=1}^{\infty}ar^{\,n-1}
converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1.

Passo 4

No nosso caso temos \lvert r\rvert=\bigl\lvert\frac{3}{2}\bigr\rvert=\frac{3}{2}>1. Logo a condição de convergência não é satisfeita, e a série diverge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{2^{n}} é divergente.

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