Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta: \sum_{n=1} \frac{3^{n}}{2^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{2^{n}}.
O conteúdo é séries infinitas e, em particular, séries geométricas. Para resolver, vamos reconhecer o tipo da série e aplicar o critério de convergência para séries geométricas.
Passo 2
Observamos que o termo geral pode ser escrito como
O critério de convergência para série geométrica diz que
\sum_{n=1}^{\infty}ar^{\,n-1}
converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1.
Passo 4
No nosso caso temos \lvert r\rvert=\bigl\lvert\frac{3}{2}\bigr\rvert=\frac{3}{2}>1. Logo a condição de convergência não é satisfeita, e a série diverge.
Resposta
A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{2^{n}} é divergente.