Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}+3^{n}}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}+3^{n}}{5^{n}}.
O conteúdo aqui é séries numéricas, em particular séries geométricas, e vamos precisar do critério de convergência para séries geométricas: uma série da forma
\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n}
converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral, temos
\frac{2^{n}+3^{n}}{5^{n}} =\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{n}+\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{n},
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\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}+3^{n}}{5^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{n} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Cada uma das somas acima é uma série geométrica com razão r_{1}=2/5 e r_{2}=3/5. Como \lvert 2/5\rvert<1 e \lvert 3/5\rvert<1, ambas convergem. Portanto a série original também converge.

Passo 4

Para completar, podemos calcular a soma de cada uma:
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{n} =\frac{\tfrac{2}{5}}{1-\tfrac{2}{5}} =\frac{2/5}{3/5} =\frac{2}{3},
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{n} =\frac{\tfrac{3}{5}}{1-\tfrac{3}{5}} =\frac{3/5}{2/5} =\frac{3}{2}.
Somando-as,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}+3^{n}}{5^{n}} =\frac{2}{3}+\frac{3}{2} =\frac{4+9}{6} =\frac{13}{6}.

Resposta

A série é convergente e seu valor é \tfrac{13}{6}.

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