Determine se as seguintes séries são convergentes. Se for convergente, calcule para qual valor ela converge.
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{n}\Bigr).
Este é um problema de séries numéricas; vamos olhar para a forma de cada termo e tentar ver se há algum padrão (por exemplo, telescópico) ou usar teste de comparação.

Passo 2

Usamos a propriedade do logaritmo de quociente:
\ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{n}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\tfrac{n+1}{n}\Bigr) = \ln(n+1) - \ln(n).
Isso sugere que a soma pode “telescopar”, pois cada termo cancela parte do anterior.

Passo 3

Definimos a soma parcial
S_{N} = \sum_{n=1}^{N} \ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{n}\Bigr).
Substituindo a expressão do passo anterior,
S_{N} = \sum_{n=1}^{N} \bigl[\ln(n+1) - \ln(n)\bigr].
Como é uma soma telescópica, quase tudo se cancela, restando
S_{N} = \ln(N+1) - \ln(1) = \ln(N+1).

Passo 4

Para que a série converja, a sequência de somas parciais S_{N} teria de ter um limite finito quando N\to\infty. Mas
\lim_{N\to\infty} S_{N} = \lim_{N\to\infty} \ln(N+1) = +\infty,
ou seja, não há convergência para um número finito.

Resposta

A série diverge; mais precisamente, a soma parcial cresce como \ln(N+1) e tende a +\infty.

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