Determine se as seguintes séries são convergentes. Se for convergente, calcule para qual valor ela converge.
\sum_{n=1}^{+\infty} 0,8^{n-1}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty}0,8^{\,n-1}
e decidir se ela converge. Se sim, calcular o valor para o qual ela converge. O conteúdo aqui é série geométrica, cujo critério de convergência é \lvert r\rvert<1 e cuja soma, no caso convergente, é a_1/(1-r).

Passo 2

Identificamos que a série é geométrica de razão
r = 0,8
e termo inicial
a_1 = 0,8^{\,1-1} = 0,8^0 = 1.

Passo 3

Aplicando o critério de convergência para série geométrica: como
\lvert r\rvert = \lvert 0,8\rvert = 0,8 < 1,
a série converge.

Passo 4

Para uma série geométrica convergente, a soma é
S = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{1}{1 - 0,8} = \frac{1}{0,2} = 5.

Resposta

A série é convergente e converge para 5.

Exercícios relacionados