Vejamos algumas bijeções interessantes.
Apresente uma função de A=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1, z \neq 2\right\} em B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=\right.\\\ 0\} bijetora.
Passo 1
O enunciado pede uma bijeção
f: A \;\longrightarrow\; B
onde
A = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2+(z-1)^2=1,\;z\neq 2\}
é a esfera unitária centrada em (0,0,1) sem o “ponto norte” N=(0,0,2), e
B = \{(u,v,w)\in\mathbb{R}^3 \mid w=0\}
é o plano z=0. Vamos usar projeção estereográfica a partir de N sobre o plano z=0.
Passo 2
Seja P=(x,y,z)\in A. Considere a reta que passa por N=(0,0,2) e por P. Ela pode ser escrita parametricamente como
R(t) = N + t\,(P-N) = \bigl(t\,x,\;t\,y,\;2 + t\,(z-2)\bigr).
Procuramos o valor de t tal que a terceira coordenada de R(t) seja zero (interseção com o plano z=0):
Note que f(x,y,z)\in B pois sua coordenada z vale 0.
Passo 3
Injetividade: se dois pontos P_1\neq P_2 em A gerassem o mesmo f(P_1)=f(P_2), então as retas \overline{NP_1} e \overline{NP_2} se encontrariam num mesmo ponto no plano z=0. Mas cada reta é determinada unicamente por P_i\neq N, portanto f é injetora.
Sobretudo, o polo N foi excluído de A, garantindo 2-z\neq0 e assim f está bem definida em toda A.
Passo 4
Sobrejetividade: dado um ponto qualquer (u,v,0)\in B, a reta que liga N=(0,0,2) a (u,v,0) intersecta a esfera em exatamente um ponto P\neq N. Uma forma explícita da inversa é