Vejamos algumas bijeções interessantes.
Apresente uma função de A=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1, z \neq 2\right\} em B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=\right.\\\ 0\} bijetora.

Passo 1

O enunciado pede uma bijeção
f: A \;\longrightarrow\; B
onde
A = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2+(z-1)^2=1,\;z\neq 2\}
é a esfera unitária centrada em (0,0,1) sem o “ponto norte” N=(0,0,2), e
B = \{(u,v,w)\in\mathbb{R}^3 \mid w=0\}
é o plano z=0. Vamos usar projeção estereográfica a partir de N sobre o plano z=0.

Passo 2

Seja P=(x,y,z)\in A. Considere a reta que passa por N=(0,0,2) e por P. Ela pode ser escrita parametricamente como
R(t) = N + t\,(P-N) = \bigl(t\,x,\;t\,y,\;2 + t\,(z-2)\bigr).
Procuramos o valor de t tal que a terceira coordenada de R(t) seja zero (interseção com o plano z=0):
2 + t\,(z-2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{2}{2 - z}.
Logo o ponto de interseção é
f(x,y,z) = \Bigl(\tfrac{2}{2-z}\,x,\;\tfrac{2}{2-z}\,y,\;0\Bigr).
Note que f(x,y,z)\in B pois sua coordenada z vale 0.

Passo 3

Injetividade: se dois pontos P_1\neq P_2 em A gerassem o mesmo f(P_1)=f(P_2), então as retas \overline{NP_1} e \overline{NP_2} se encontrariam num mesmo ponto no plano z=0. Mas cada reta é determinada unicamente por P_i\neq N, portanto f é injetora.
Sobretudo, o polo N foi excluído de A, garantindo 2-z\neq0 e assim f está bem definida em toda A.

Passo 4

Sobrejetividade: dado um ponto qualquer (u,v,0)\in B, a reta que liga N=(0,0,2) a (u,v,0) intersecta a esfera em exatamente um ponto P\neq N. Uma forma explícita da inversa é
g(u,v,0) = \Bigl(\tfrac{4u}{u^2+v^2+4},\;\tfrac{4v}{u^2+v^2+4},\;\tfrac{2\,(u^2+v^2)}{u^2+v^2+4}\Bigr),
e verifica-se diretamente que g\bigl(f(x,y,z)\bigr)=(x,y,z) e f\bigl(g(u,v,0)\bigr)=(u,v,0). Assim f é bijetora.

Resposta

f:A\;\longrightarrow\;B, \qquad f(x,y,z) = \Bigl(\tfrac{2x}{2-z},\;\tfrac{2y}{2-z},\;0\Bigr).

Exercícios relacionados