Determine se as seguintes séries são convergentes. Se for convergente, calcule para qual valor ela converge.
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(\frac{n}{2 n+5}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \ln\!\biggl(\frac{n}{2n+5}\biggr).
O conteúdo envolvido é o critério necessário de convergência de séries numéricas: se a série \sum a_n converge então é necessário que a_n\to0 quando n\to\infty.

Passo 2

Aqui o termo geral é
a_n = \ln\!\biggl(\frac{n}{2n+5}\biggr).
Para verificar o limite, note que
\frac{n}{2n+5} = \frac{1}{2 + \tfrac{5}{n}} \;\longrightarrow\; \frac{1}{2} \quad\text{quando }n\to\infty.
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\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \ln\!\bigl(\tfrac{n}{2n+5}\bigr) = \ln\!\bigl(\tfrac12\bigr) \neq 0.
Como o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge (os termos não tendem a zero, e a soma parcial vai a -\infty).

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