Determine se os seguintes sistemas têm solução não trivial. Tente usar o menor número possível de operações de linha.
Passo 1
O enunciado dá o sistema homogêneo com três incógnitas e duas equações:
O que é pedido: determinar se o sistema tem solução não trivial (ou seja, além da solução
). Informação importante fornecida: são duas equações e três incógnitas (
).]
Passo 2
Noções rápidas e úteis (mini-aula): para um sistema homogêneo escrito
,
- a solução trivial
existe sempre; - existe solução não trivial se e somente se as equações não forem todas linearmente independentes o suficiente para fixar todas as incógnitas — em termos práticos, se a classificação (posto) da matriz dos coeficientes for menor que o número de incógnitas, sobra pelo menos uma variável livre e então surgem soluções não triviais.
Vamos aplicar redução de linha com o menor número possível de operações. Escrevo as equações e faço a operação
(uma única operação de linha):
a primeira equação original é .
A segunda é .
Somando vezes a segunda à primeira:
a primeira equação original é
A segunda é
Somando
Calculemos termo a termo:
Logo a nova primeira equação é
Passo 3
Simplifico essa equação dividindo por
(ou apenas isolando
):
A segunda equação (não modificada na última operação) continua sendo
Passo 4
Agora substituo
na segunda equação para encontrar
:
Portanto
Passo 5
Interpretação: escolho um parâmetro livre
para
:
. Então
Como existe uma variável livre (
), o conjunto de soluções é infinito e contém vetores não nulos — isto é, existem soluções não triviais.
Observação sobre posto: a redução mostrou duas equações independentes (duas linhas não nulas), logo o posto da matriz dos coeficientes é
. Como o número de incógnitas é
e
, sobra uma liberdade e surgem soluções não triviais — isso confirma o raciocínio anterior.
Passo 6
Escrevendo a solução geral de forma vetorial:
Para
obtém-se uma solução não trivial; para
obtém-se a solução trivial.
Resposta
Sim. A solução geral é
com
.