Determine se os seguintes sistemas têm solução não trivial. Tente usar o menor número possível de operações de linha.
\left\{\begin{array}{l}-5 x_{1}+7 x_{2}+9 x_{3}=0 \\ x_{1}-2 x_{2}+6 x_{3}=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo com três incógnitas e duas equações:
\begin{cases} -5x_{1}+7x_{2}+9x_{3}=0\\[4pt] x_{1}-2x_{2}+6x_{3}=0 \end{cases}
O que é pedido: determinar se o sistema tem solução não trivial (ou seja, além da solução x_{1}=x_{2}=x_{3}=0). Informação importante fornecida: são duas equações e três incógnitas ( x_{1},x_{2},x_{3}).]

Passo 2

Noções rápidas e úteis (mini-aula): para um sistema homogêneo escrito A x=0,
  • a solução trivial x=0 existe sempre;
  • existe solução não trivial se e somente se as equações não forem todas linearmente independentes o suficiente para fixar todas as incógnitas — em termos práticos, se a classificação (posto) da matriz dos coeficientes for menor que o número de incógnitas, sobra pelo menos uma variável livre e então surgem soluções não triviais.
Vamos aplicar redução de linha com o menor número possível de operações. Escrevo as equações e faço a operação R_{1}\leftarrow R_{1}+5R_{2} (uma única operação de linha):
a primeira equação original é -5x_{1}+7x_{2}+9x_{3}=0.
A segunda é x_{1}-2x_{2}+6x_{3}=0.
Somando 5 vezes a segunda à primeira:
-5x_{1}+7x_{2}+9x_{3}+5(x_{1}-2x_{2}+6x_{3})=0.
Calculemos termo a termo:
-5x_{1}+5x_{1}=0,\quad 7x_{2}+5(-2x_{2})=7x_{2}-10x_{2}=-3x_{2},\quad 9x_{3}+5\cdot6x_{3}=9x_{3}+30x_{3}=39x_{3}.
Logo a nova primeira equação é
-3x_{2}+39x_{3}=0.

Passo 3

Simplifico essa equação dividindo por -3 (ou apenas isolando x_{2}):
x_{2}-13x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=13x_{3}.
A segunda equação (não modificada na última operação) continua sendo
x_{1}-2x_{2}+6x_{3}=0.

Passo 4

Agora substituo x_{2}=13x_{3} na segunda equação para encontrar x_{1}:
x_{1}-2(13x_{3})+6x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}-26x_{3}+6x_{3}=0.
Portanto
x_{1}-20x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=20x_{3}.

Passo 5

Interpretação: escolho um parâmetro livre t para x_{3}: x_{3}=t. Então
x_{2}=13t,\qquad x_{1}=20t.
Como existe uma variável livre ( t), o conjunto de soluções é infinito e contém vetores não nulos — isto é, existem soluções não triviais.
Observação sobre posto: a redução mostrou duas equações independentes (duas linhas não nulas), logo o posto da matriz dos coeficientes é 2. Como o número de incógnitas é 3 e 2<3, sobra uma liberdade e surgem soluções não triviais — isso confirma o raciocínio anterior.

Passo 6

Escrevendo a solução geral de forma vetorial:
(x_{1},x_{2},x_{3})=(20t,\,13t,\,t),\quad t\in\mathbb{R}.
Para t\neq 0 obtém-se uma solução não trivial; para t=0 obtém-se a solução trivial.

Resposta

Sim. A solução geral é (x_{1},x_{2},x_{3})=(20t,\,13t,\,t) com t\in\mathbb{R}.

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