Escreva o conjunto solução dos sistemas homogêneos dados na forma vetorial paramétrica.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+3 x_{2}-5 x_{3}=0 \\\ x_{1}+4 x_{2}-8 x_{3}=0 \\\\ -3 x_{1}-7 x_{2}+9 x_{3}=0\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Sistema homogêneo com três equações e três incógnitas:
\begin{cases} x_{1}+3x_{2}-5x_{3}=0,\\[4pt] x_{1}+4x_{2}-8x_{3}=0,\\[4pt] -3x_{1}-7x_{2}+9x_{3}=0. \end{cases}
  • O pedido: escrever o conjunto solução na forma vetorial paramétrica (isto é, expressar (x_{1},x_{2},x_{3}) usando parâmetros).]

Passo 2

Primeira ação algébrica: eliminar uma incógnita subtraindo equações para simplificar. Subtraio a primeira equação da segunda:
\bigl(x_{1}+4x_{2}-8x_{3}\bigr)-\bigl(x_{1}+3x_{2}-5x_{3}\bigr)=0-0,
o que dá
x_{2}-3x_{3}=0.
Isso é uma relação simples entre x_{2} e x_{3}. Reescrevendo:
x_{2}=3x_{3}.

Passo 3

Agora uso x_{2}=3x_{3} numa das equações originais para achar x_{1}. Substituo na primeira equação:
x_{1}+3x_{2}-5x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}+3(3x_{3})-5x_{3}=0.
Calculo os termos:
x_{1}+9x_{3}-5x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}+4x_{3}=0.
Logo
x_{1}=-4x_{3}.

Passo 4

Verificação rápida: substituo x_{1}=-4x_{3} e x_{2}=3x_{3} na terceira equação para confirmar que está satisfeita:
-3x_{1}-7x_{2}+9x_{3}=-3(-4x_{3})-7(3x_{3})+9x_{3}=12x_{3}-21x_{3}+9x_{3}=0,
portanto todas as equações são satisfeitas por essas relações — ótimo.

Passo 5

Escolho x_{3} como parâmetro livre: defina t:=x_{3} com t\in\mathbb{R}. Então
x_{1}=-4t,\qquad x_{2}=3t,\qquad x_{3}=t.
Escrevendo em forma vetorial paramétrica:
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} =t\begin{pmatrix}-4\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto mostra que o espaço das soluções é a reta (subespaço unidimensional) gerada pelo vetor \begin{pmatrix}-4\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix}.]

Resposta

\{\,t(-4,3,1)\mid t\in\mathbb{R}\,\}

Exercícios relacionados