Determine se os seguintes sistemas têm solução não trivial. Tente usar o menor número possível de operações de linha.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se o sistema homogêneo abaixo tem solução não trivial (ou seja, alguma solução além da solução nula).
O sistema dado é
O sistema dado é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- É um sistema homogêneo (termos independentes iguais a
). - Tem
equações e incógnitas ( ).]
Passo 2
Conceitos essenciais (explicação didática e curta):
- Toda sistema homogêneo sempre admite a solução trivial
. - Uma solução é não trivial se pelo menos uma variável for diferente de zero.
- Critério prático: se o posto (rank) da matriz de coeficientes for menor que o número de incógnitas
, então o sistema tem infinitas soluções não triviais; se o posto for igual a , a única solução é a trivial. - Operações de linha permitidas (o que vou usar): trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo e somar um múltiplo de uma linha a outra. Vou usar o menor número possível dessas operações.
Passo 3
Vou eliminar
da segunda equação usando uma única operação de linha mínima: somar
vezes a primeira equação à segunda (isso elimina o coeficiente de
na segunda).
Aplicando vezes a primeira equação mais a segunda:
Aplicando
Calcule termo a termo:
Logo a segunda equação transformada é
Passo 4
Resolver a equação obtida para
:
Agora substituo
na primeira equação original para achar
:
A primeira equação é . Substituindo:
A primeira equação é
Calcule os termos:
Então
Passo 5
Parâmetrização da solução (forma final e interpretação):
- Tome
como parâmetro livre, com . - Então
e .
A solução geral do sistema é
Observações finais: existe uma variável livre (
), logo há infinitas soluções. Em particular, para
obtem-se solução não trivial. O posto da matriz de coeficientes é
(dois pivôs: um em
e outro em
), e como o número de incógnitas é
, temos
grau de liberdade — confirma a parametrização acima.
Resposta
Sim. Há infinitas soluções não triviais. A solução geral é
para
.