Determine se os seguintes sistemas têm solução não trivial. Tente usar o menor número possível de operações de linha.
\left\{\begin{array}{l}-3 x_{1}+5 x_{2}-7 x_{3}=0 \\\ -6 x_{1}+7 x_{2}+x_{3}=0\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se o sistema homogêneo abaixo tem solução não trivial (ou seja, alguma solução além da solução nula).
O sistema dado é
\begin{cases} -3x_{1}+5x_{2}-7x_{3}=0,\\[4pt] -6x_{1}+7x_{2}+x_{3}=0. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É um sistema homogêneo (termos independentes iguais a 0).
  • Tem 2 equações e 3 incógnitas ( x_{1},x_{2},x_{3}).]

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação didática e curta):
  • Toda sistema homogêneo sempre admite a solução trivial x_{1}=x_{2}=x_{3}=0.
  • Uma solução é não trivial se pelo menos uma variável for diferente de zero.
  • Critério prático: se o posto (rank) da matriz de coeficientes for menor que o número de incógnitas n, então o sistema tem infinitas soluções não triviais; se o posto for igual a n, a única solução é a trivial.
  • Operações de linha permitidas (o que vou usar): trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo e somar um múltiplo de uma linha a outra. Vou usar o menor número possível dessas operações.

Passo 3

Vou eliminar x_{1} da segunda equação usando uma única operação de linha mínima: somar -2 vezes a primeira equação à segunda (isso elimina o coeficiente de x_{1} na segunda).
Aplicando -2 vezes a primeira equação mais a segunda:
-2\cdot(-3x_{1}+5x_{2}-7x_{3}) + (-6x_{1}+7x_{2}+x_{3}) = 0.
Calcule termo a termo:
-2\cdot(-3x_{1}) + (-6x_{1}) = 6x_{1}-6x_{1}=0,
-2\cdot(5x_{2}) + 7x_{2} = -10x_{2}+7x_{2} = -3x_{2},
-2\cdot(-7x_{3}) + x_{3} = 14x_{3}+x_{3}=15x_{3}.
Logo a segunda equação transformada é
-3x_{2}+15x_{3}=0.

Passo 4

Resolver a equação obtida para x_{2}:
-3x_{2}+15x_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad -3x_{2}=-15x_{3}\quad\Longrightarrow\quad x_{2}=5x_{3}.
Agora substituo x_{2}=5x_{3} na primeira equação original para achar x_{1}:
A primeira equação é -3x_{1}+5x_{2}-7x_{3}=0. Substituindo:
-3x_{1}+5(5x_{3})-7x_{3}=0.
Calcule os termos:
-3x_{1}+25x_{3}-7x_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad -3x_{1}+18x_{3}=0.
Então
-3x_{1}=-18x_{3}\quad\Longrightarrow\quad x_{1}=6x_{3}.

Passo 5

Parâmetrização da solução (forma final e interpretação):
  • Tome x_{3}=t como parâmetro livre, com t\in\mathbb{R}.
  • Então x_{2}=5t e x_{1}=6t.
    A solução geral do sistema é
(x_{1},x_{2},x_{3})=(6t,\,5t,\,t),\qquad t\in\mathbb{R}.
Observações finais: existe uma variável livre ( t), logo há infinitas soluções. Em particular, para t\neq0 obtem-se solução não trivial. O posto da matriz de coeficientes é 2 (dois pivôs: um em x_{1} e outro em x_{2}), e como o número de incógnitas é 3, temos 3-2=1 grau de liberdade — confirma a parametrização acima.

Resposta

Sim. Há infinitas soluções não triviais. A solução geral é (x_{1},x_{2},x_{3})=(6t,5t,t) para t\in\mathbb{R}.

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