Determine se os seguintes sistemas têm solução não trivial. Tente usar o menor número possível de operações de linha. \left\{\begin{array}{l}x_{1}-3 x_{2}+7 x_{3}=0 \\\ -2 x_{1}+x_{2}-4 x_{3}=0 \\ x_{1}+2 x_{2}+9 x_{3}=0\end{array}\right.
Um sistema homogêneo A x=0 sempre tem a solução trivial x=0.
Para um sistema quadrado n\times n existe solução não trivial se, e somente se, a matriz A for singular (ou seja, não invertível).
Uma forma prática de testar singularidade para 3\times3 é calcular o determinante \det(A): se \det(A)=0 então há soluções não triviais; se \det(A)\neq0 então A é invertível e a única solução é a trivial.
Vou portanto calcular \det(A). Para 3\times3 uso a regra de Sarrus (fácil e rápida): se
Agora a determinante é a diferença entre as somas:
\det(A)=(-7)-53=-60.
Como \det(A)=-60\neq 0, a matriz A é invertível.
Passo 6
Conclusão teórica aplicada: se A é invertível então a única solução do sistema homogêneo A x=0 é x=0. Alternativamente, multiplicando A^{-1} em ambos os lados obteríamos x= A^{-1}0=0, que é a solução trivial.