Determine se os seguintes sistemas têm solução não trivial. Tente usar o menor número possível de operações de linha.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}-3 x_{2}+7 x_{3}=0 \\\ -2 x_{1}+x_{2}-4 x_{3}=0 \\ x_{1}+2 x_{2}+9 x_{3}=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo
\begin{cases} x_{1}-3x_{2}+7x_{3}=0\\[4pt] -2x_{1}+x_{2}-4x_{3}=0\\[4pt] x_{1}+2x_{2}+9x_{3}=0 \end{cases}
Pergunta clara: o sistema tem solução não trivial (isto é, existe (x_1,x_2,x_3)\neq(0,0,0) que satisfaça o sistema) ou só a solução trivial?
Informações relevantes dadas:
  • É um sistema homogêneo de 3 equações e 3 incógnitas.
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 7\\[4pt] -2 & 1 & -4\\[4pt] 1 & 2 & 9 \end{pmatrix}.]

Passo 2

Conceito-chave que vou usar (explicado devagar):
  • Um sistema homogêneo A x=0 sempre tem a solução trivial x=0.
  • Para um sistema quadrado n\times n existe solução não trivial se, e somente se, a matriz A for singular (ou seja, não invertível).
  • Uma forma prática de testar singularidade para 3\times3 é calcular o determinante \det(A): se \det(A)=0 então há soluções não triviais; se \det(A)\neq0 então A é invertível e a única solução é a trivial.
Vou portanto calcular \det(A). Para 3\times3 uso a regra de Sarrus (fácil e rápida): se
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
então
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-\bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Cada termo é o produto dos elementos das diagonais “para a direita” (soma) ou das diagonais “para a esquerda” (subtração).]

Passo 3

Identifico os elementos de A:
a_{11}=1,\quad a_{12}=-3,\quad a_{13}=7,
a_{21}=-2,\quad a_{22}=1,\quad a_{23}=-4,
a_{31}=1,\quad a_{32}=2,\quad a_{33}=9.
Agora calculo os três produtos positivos da regra de Sarrus:
a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot 1\cdot 9=9,
a_{12}a_{23}a_{31}=(-3)\cdot(-4)\cdot 1=12,
a_{13}a_{21}a_{32}=7\cdot(-2)\cdot 2=7\cdot(-4)=-28.
Somando esses três termos:
9+12+(-28)=9+12-28=-7.

Passo 4

Agora os três produtos que entram com sinal negativo:
a_{13}a_{22}a_{31}=7\cdot 1\cdot 1=7,
a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot(-4)\cdot 2=-8,
a_{12}a_{21}a_{33}=(-3)\cdot(-2)\cdot 9=6\cdot 9=54.
Somando esses três termos:
7+(-8)+54=7-8+54=53.

Passo 5

Agora a determinante é a diferença entre as somas:
\det(A)=(-7)-53=-60.
Como \det(A)=-60\neq 0, a matriz A é invertível.

Passo 6

Conclusão teórica aplicada: se A é invertível então a única solução do sistema homogêneo A x=0 é x=0. Alternativamente, multiplicando A^{-1} em ambos os lados obteríamos x= A^{-1}0=0, que é a solução trivial.

Resposta

Somente a solução trivial x_{1}=x_{2}=x_{3}=0.

Exercícios relacionados