Determine quais dos seguintes subconjunto de M_{3}(\mathbb{R}) são subespaços vetoriais:
As matrizes diagonais
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o subconjunto das matrizes diagonais é um subespaço vetorial de M_{3}(\mathbb{R}).
Informações relevantes dadas:
O espaço ambiente é M_{3}(\mathbb{R}), o conjunto de todas as matrizes 3\times 3 com entradas reais.
O subconjunto em questão é “as matrizes diagonais”, isto é, todas as matrizes 3\times3 cuja única possíveis entradas não nulas ficam na diagonal principal; todas as entradas fora da diagonal principal são zero.
Vou lembrar a definição prática de “subespaço vetorial” que usaremos (essa é a “ferramenta” que você precisa saber): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se e somente se três condições forem satisfeitas:
W não é vazio (equivalente a conter o vetor zero de V);
W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W então u+v\in W;
W é fechado sob multiplicação por escalares: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.
Explicando cada item de forma bem direta:
“Contém o zero” significa aqui que a matriz nula 0_{3\times3} deve estar em W.
“Fechado sob adição” significa que somar duas matrizes do subconjunto ainda dá uma matriz do mesmo tipo.
“Fechado sob escalares” significa que multiplicar uma matriz do subconjunto por qualquer número real continua sendo uma matriz do mesmo tipo.
Essas três verificações são suficientes — não precisa provar outras propriedades (como comutatividade, distributividade etc.), porque já sabemos que M_3(\mathbb{R}) é um espaço vetorial.
Passo 3
Verificando a presença da matriz zero: a matriz nula 0_{3\times3} é
Essa matriz tem todas as entradas fora da diagonal iguais a zero (na verdade todas são zero), portanto é uma matriz diagonal (com d_1=d_2=d_3=0). Logo o subconjunto contém o vetor zero e a condição (1) está satisfeita.]
Passo 4
Verificando fechamento por adição: seja A e B duas matrizes diagonais quaisquer. Escrevemos suas formas gerais:
continua diagonal — mostra concretamente a ideia.]
Passo 5
Verificando fechamento por multiplicação por escalar: seja A uma matriz diagonal como em cima e seja \lambda\in\mathbb{R}. Multiplicando cada entrada por \lambda obtemos
Como as três condições necessárias foram verificadas (contém o zero, fechado por adição e fechado por multiplicação por escalares), concluímos que o conjunto das matrizes diagonais é um subespaço vetorial de M_{3}(\mathbb{R}).
Passo extra didático (útil na prova): podemos também ver que esse subespaço é isomorfo a \mathbb{R}^3 via a aplicação