Determine quais dos seguintes subconjunto de M_{3}(\mathbb{R}) são subespaços vetoriais:
As matrizes diagonais

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o subconjunto das matrizes diagonais é um subespaço vetorial de M_{3}(\mathbb{R}).
Informações relevantes dadas:
  • O espaço ambiente é M_{3}(\mathbb{R}), o conjunto de todas as matrizes 3\times 3 com entradas reais.
  • O subconjunto em questão é “as matrizes diagonais”, isto é, todas as matrizes 3\times3 cuja única possíveis entradas não nulas ficam na diagonal principal; todas as entradas fora da diagonal principal são zero.
  • Uma matriz diagonal geral pode ser descrita como
\begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & d_2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & d_3 \end{pmatrix}
com d_1,d_2,d_3\in\mathbb{R}.]

Passo 2

Vou lembrar a definição prática de “subespaço vetorial” que usaremos (essa é a “ferramenta” que você precisa saber): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se e somente se três condições forem satisfeitas:
  1. W não é vazio (equivalente a conter o vetor zero de V);
  2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W então u+v\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalares: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.
Explicando cada item de forma bem direta:
  • “Contém o zero” significa aqui que a matriz nula 0_{3\times3} deve estar em W.
  • “Fechado sob adição” significa que somar duas matrizes do subconjunto ainda dá uma matriz do mesmo tipo.
  • “Fechado sob escalares” significa que multiplicar uma matriz do subconjunto por qualquer número real continua sendo uma matriz do mesmo tipo.
Essas três verificações são suficientes — não precisa provar outras propriedades (como comutatividade, distributividade etc.), porque já sabemos que M_3(\mathbb{R}) é um espaço vetorial.

Passo 3

Verificando a presença da matriz zero: a matriz nula 0_{3\times3} é
0_{3\times3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Essa matriz tem todas as entradas fora da diagonal iguais a zero (na verdade todas são zero), portanto é uma matriz diagonal (com d_1=d_2=d_3=0). Logo o subconjunto contém o vetor zero e a condição (1) está satisfeita.]

Passo 4

Verificando fechamento por adição: seja A e B duas matrizes diagonais quaisquer. Escrevemos suas formas gerais:
A=\begin{pmatrix} a_1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & a_2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & a_3 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} b_1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & b_2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & b_3 \end{pmatrix},
com a_i,b_i\in\mathbb{R}. A soma é obtida somando-se entrada a entrada:
A+B=\begin{pmatrix} a_1+b_1 & 0+0 & 0+0\\[4pt] 0+0 & a_2+b_2 & 0+0\\[4pt] 0+0 & 0+0 & a_3+b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1+b_1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & a_2+b_2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & a_3+b_3 \end{pmatrix}.
Observe que todas as entradas fora da diagonal continuam sendo zero, portanto A+B é também uma matriz diagonal. Assim a condição (2) está satisfeita.
Exemplo numérico rápido (para fixar): somando
\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&2&0\\\ 0&0&3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4&0&0\\\ 0&-1&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&3\end{pmatrix},
continua diagonal — mostra concretamente a ideia.]

Passo 5

Verificando fechamento por multiplicação por escalar: seja A uma matriz diagonal como em cima e seja \lambda\in\mathbb{R}. Multiplicando cada entrada por \lambda obtemos
\lambda A= \begin{pmatrix} \lambda a_1 & \lambda\cdot 0 & \lambda\cdot 0\\[4pt] \lambda\cdot 0 & \lambda a_2 & \lambda\cdot 0\\[4pt] \lambda\cdot 0 & \lambda\cdot 0 & \lambda a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda a_1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \lambda a_2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \lambda a_3 \end{pmatrix}.
De novo, as entradas fora da diagonal permanecem zero, portanto \lambda A é diagonal. Assim a condição (3) está satisfeita.
Exemplo numérico: 2\cdot\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&3&0\\\ 0&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0&0\\\ 0&6&0\\\ 0&0&-2\end{pmatrix}, continua diagonal.]

Passo 6

Como as três condições necessárias foram verificadas (contém o zero, fechado por adição e fechado por multiplicação por escalares), concluímos que o conjunto das matrizes diagonais é um subespaço vetorial de M_{3}(\mathbb{R}).
Passo extra didático (útil na prova): podemos também ver que esse subespaço é isomorfo a \mathbb{R}^3 via a aplicação
\varphi:\mathbb{R}^3\to M_3(\mathbb{R}),\qquad \varphi(d_1,d_2,d_3)=\begin{pmatrix}d_1&0&0\\[4pt]0&d_2&0\\[4pt]0&0&d_3\end{pmatrix}.
Uma base natural do subespaço é dada pelas matrizes
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},\quad E_{33}=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix},
que mostram imediatamente que a dimensão desse subespaço é 3. Isso não era pedido, mas é um complemento rápido que costuma cair em provas.]

Resposta

O conjunto das matrizes diagonais é um subespaço vetorial de M_{3}(\mathbb{R}).

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