Nos problemas 49 a 51, determinar o ponto de interseção da reta \mathbf{r} com o plano \pi nos seguintes casos:
r: \left\{\begin{array}{l}x=1 \\\ y=1-2 t \quad \text { e } \quad \pi: 2 x+y-z-4=0 \\\ z=-t\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a reta \mathbf{r} em forma paramétrica
x=1,\quad y=1-2t,\quad z=-t
e o plano \pi definido por
2x+y-z-4=0.
Vamos encontrar o valor de t tal que o ponto \bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) satisfaça a equação do plano.
Passo 2
Substituímos x=1, y=1-2t e z=-t em
2x+y-z-4=0.
Isso dá
2\cdot1 + (1-2t) - (-t) - 4 = 0.
Resolvendo,
2 + 1 - 2t + t - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -1 - t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = -1.
Passo 3
Com t=-1, as coordenadas do ponto na reta são
x = 1,\quad y = 1 - 2(-1) = 3,\quad z = -(-1) = 1.