Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) onde T(a, b, c)=c x^{2}-2 b x+a

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}),\qquad T(a,b,c)=c\,x^{2}-2\,b\,x+a.
Queremos verificar se T é um isomorfismo (bijetora) e, em caso afirmativo, encontrar T^{-1}. Para isso, usaremos o conceito de núcleo, dimensões dos espaços e a construção de uma pré-imagem genérica.

Passo 2

Calculamos o núcleo de T:
\ker(T)=\{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3\mid T(a,b,c)=0\}.
A condição T(a,b,c)=0 significa que o polinômio
c\,x^2-2\,b\,x+a
é identicamente nulo. Logo os coeficientes devem satisfazer
c=0,\quad -2\,b=0,\quad a=0.
Assim
\ker(T)=\{(0,0,0)\},
o que mostra que T é injetora.

Passo 3

Como \dim(\mathbb{R}^3)=3 e \dim(\mathcal{P}_2(\mathbb{R}))=3, injetividade já implica bijetividade e, portanto, isomorfismo. Alternativamente, para ver surjetividade de forma construtiva, seja um polinômio genérico
p(x)=\alpha+\beta\,x+\gamma\,x^2.
Basta escolher
(a,b,c)=\Bigl(\alpha,\,-\tfrac{\beta}{2},\,\gamma\Bigr)
pois então
T(a,b,c) =\gamma\,x^2-2\Bigl(-\tfrac{\beta}{2}\Bigr)x+\alpha =\alpha+\beta\,x+\gamma\,x^2 =p(x).

Passo 4

Da construção acima, a inversa T^{-1} é dada por: para qualquer
p(x)=\alpha+\beta\,x+\gamma\,x^2
temos
T^{-1}\bigl(p(x)\bigr) =\bigl(\alpha,\,-\tfrac{\beta}{2},\,\gamma\bigr).

Resposta

T é um isomorfismo e
T^{-1}\bigl(\alpha+\beta\,x+\gamma\,x^2\bigr) =\bigl(\alpha,\,-\tfrac{\beta}{2},\,\gamma\bigr).

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