Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
onde
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Queremos verificar se
é um isomorfismo (bijetora) e, em caso afirmativo, encontrar
. Para isso, usaremos o conceito de núcleo, dimensões dos espaços e a construção de uma pré-imagem genérica.
Passo 2
Calculamos o núcleo de
:
A condição
significa que o polinômio
é identicamente nulo. Logo os coeficientes devem satisfazer
Assim
o que mostra que
é injetora.
Passo 3
Como
e
, injetividade já implica bijetividade e, portanto, isomorfismo. Alternativamente, para ver surjetividade de forma construtiva, seja um polinômio genérico
Basta escolher
pois então
Passo 4
Da construção acima, a inversa
é dada por: para qualquer
temos