Em cada item abaixo, dê exemplo, se possível, de uma transformação linear que satisfaz a condição dada, através de uma matriz associada.
T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{3}(\mathbb{R}) injetora.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de transformação linear
T\colon M_{2}(\mathbb{R})\to P_{3}(\mathbb{R})
que seja injetora, exibindo a matriz associada. Aqui usamos que \dim M_{2}(\mathbb{R})=4 e \dim P_{3}(\mathbb{R})=4, de modo que basta achar um isomorfismo (linha­r injetora e sobrejetora). Vamos usar as bases canônicas.

Passo 2

Definimos T pela regra
T\Bigl(\begin{pmatrix}a & b\\[6pt]c & d\end{pmatrix}\Bigr) = a + b\,x + c\,x^2 + d\,x^3.
É fácil ver que T é linear (preserva soma e multiplicação por escalar) e que
\ker T =\Bigl\{\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\Bigm|a+b\,x+c\,x^2+d\,x^3=0\Bigr\}
implica a=b=c=d=0. Logo \ker T=\{0\} e T é injetora.]

Passo 3

Nas bases canônicas \mathcal{B}=\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} de M_{2}(\mathbb{R})
e \mathcal{C}=\{1,x,x^2,x^3\} de P_{3}(\mathbb{R}), temos
T(E_{11})=1,\quad T(E_{12})=x,\quad T(E_{21})=x^2,\quad T(E_{22})=x^3.
Portanto, a matriz de T em relação a \mathcal{B},\mathcal{C} é a identidade 4\times4:
[T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} =\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.

Resposta

Um exemplo é
T\Bigl(\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\Bigr) = a + b\,x + c\,x^2 + d\,x^3,
cuja matriz associada nas bases canônicas é a identidade 4\times4, garantindo injetividade.

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