As informações relevantes são exatamente esses três vetores (cada componente está explícita acima) e o método solicitado: usar o determinante para decidir coplanaridade.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se e somente se eles são linearmente dependentes, isto é, se algum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Uma maneira prática e rápida de testar isso é calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas (ou como linhas). Esse determinante é o produto misto (scalar triple product) e mede o volume (com sinal) do paralelepípedo gerado pelos três vetores. Se o determinante for igual a zero, o volume é zero e os vetores estão todos no mesmo plano (coplanares). Se o determinante for diferente de zero, o volume é não nulo e os vetores não são coplanares (eles geram todo o espaço \mathbb{R}^3).
Para fixar: quando falo em determinante aqui, quero dizer o determinante da matriz
Aqui a primeira coluna é \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, a segunda é \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} e a terceira é \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.]
Passo 4
Método para calcular o determinante: vou usar a regra de Sarrus (prática para matrizes 3\times3). A regra diz que, para
o determinante é a soma dos produtos das três diagonais descendentes da esquerda para a direita menos a soma dos produtos das três diagonais ascendentes da esquerda para a direita. Vou aplicar isso com os elementos de A.]
Produtos das diagonais descendentes (termos positivos):
a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot 2\cdot 2=4,
a_{12}a_{23}a_{31}=1\cdot 1\cdot 1=1,
a_{13}a_{21}a_{32}=1\cdot 1\cdot 1=1.
Somando esses três termos positivos obtenho
4+1+1=6.
Passo 6
Agora os produtos das diagonais ascendentes (termos negativos):
a_{13}a_{22}a_{31}=1\cdot 2\cdot 1=2,
a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot 1\cdot 1=1,
a_{12}a_{21}a_{33}=1\cdot 1\cdot 2=2.
Somando esses três termos negativos obtenho
2+1+2=5.
Passo 7
Subtraio soma negativa da soma positiva para obter o determinante:
\det(A)=6-5=1.
Interpretação: \det(A)=1\neq 0. Isso significa que o paralelepípedo formado por esses três vetores tem volume 1 (não-nulo), logo os vetores são linearmente independentes e não estão todos no mesmo plano. Em outras palavras, não são coplanares.
Passo 8
Comentário intuitivo e pequeno exemplo adicional para fixar: se dois vetores fossem iguais ou se um fosse soma dos outros dois, o determinante seria zero. Por exemplo, para as colunas \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} a matriz seria
e claramente \det=0, indicando coplanaridade (todos os vetores têm terceira componente zero, estão no plano z=0). Isso reforça a ideia do determinante como detector de coplanaridade.
Resposta
Os vetores não são coplanares, pois \det\begin{pmatrix}1&1&1\\[4pt]1&2&1\\[4pt]1&1&2\end{pmatrix}=1\neq0.]