Explique porque o determinante de uma matriz n \times n vale 0 quando uma de suas linhas é combinação linear de outras linhas.

Passo 1

O que o problema pede: provar que o determinante de uma matriz quadrada n\times n vale zero quando uma de suas linhas é combinação linear das outras linhas.
Informações dadas (explicitação):
  • Seja A uma matriz n\times n.
  • Denote por r_1,r_2,\dots,r_n as linhas de A.
  • Existe um índice p tal que a linha r_p é combinação linear das outras linhas; ou seja, existem escalares \lambda_i (para i\neq p) tais que
r_p=\sum_{i\neq p}\lambda_i r_i.
O objetivo é mostrar que \det(A)=0.

Passo 2

Apresentar a ferramenta principal: a expansão de Laplace (expansão por cofatores) ao longo da linha p.
Explicação da fórmula e dos símbolos:
  • Para qualquer matriz n\times n e escolha de linha p,
\det(A)=\sum_{j=1}^{n} a_{p j}\,C_{p j},
onde a_{p j} é o elemento da linha p e coluna j, e C_{p j} é o cofator associado, isto é C_{p j}=(-1)^{p+j}\det(M_{p j}) com M_{p j} sendo a menor obtida suprimindo a linha p e a coluna j.
Por que esta fórmula é útil aqui:
  • A expansão mostra que \det(A) é linear em relação à linha p: se a linha p for soma de vetores, o determinante se quebra numa soma correspondente (porque cada a_{p j} aparece linearmente).

Passo 3

Mostrar que os cofatores C_{p j} não dependem da linha p modificada (além de remover ela própria): mais precisamente, C_{p j} é função apenas das linhas diferentes de p.
Explicação detalhada:
  • O cofator C_{p j} é, até um sinal, o determinante da submatriz que não contém a linha p. Logo, se eu alterar a linha p por qualquer outro vetor, os cofatores C_{p j} permanecem exatamente os mesmos, pois eles dependem só das outras linhas. Isso permite separar a linearidade do determinante em relação à linha p das demais partes da matriz.

Passo 4

Usar a hipótese r_p=\sum_{i\neq p}\lambda_i r_i na expansão por cofatores.
Desenvolvimento passo a passo:
  • Escrevendo cada entrada a_{p j} da linha p como combinação das entradas das outras linhas, temos
a_{p j}=\sum_{i\neq p}\lambda_i a_{i j}.
  • Substituindo na expansão,
\det(A)=\sum_{j=1}^{n}\Big(\sum_{i\neq p}\lambda_i a_{i j}\Big)C_{p j}.
  • Troque a ordem das somas (distribuição):
\det(A)=\sum_{i\neq p}\lambda_i\Big(\sum_{j=1}^{n} a_{i j}C_{p j}\Big).
  • Observe o significado da soma interna \sum_{j=1}^{n} a_{i j}C_{p j}: é exatamente a expansão de Laplace ao longo da linha p se, em vez de usar os elementos originais da linha p, usássemos os elementos da linha i. Ou seja, \sum_{j} a_{i j}C_{p j} é o determinante da matriz que resulta de substituir a linha p por uma cópia da linha i. Denotando por A^{(i\to p)} a matriz obtida de A substituindo r_p por r_i, temos
\sum_{j=1}^{n} a_{i j}C_{p j}=\det\big(A^{(i\to p)}\big).

Passo 5

Mostrar que cada \det\big(A^{(i\to p)}\big)=0 porque nessa matriz existem duas linhas iguais.
Explicação detalhada e prova do fato “duas linhas iguais ⇒ determinante zero”:
  • A matriz A^{(i\to p)} tem a linha i e a linha p idênticas (pois substituímos r_p por r_i). Portanto ela tem duas linhas iguais.
  • Agora demonstramos por que uma matriz com duas linhas iguais tem determinante zero. Seja B uma matriz com linhas s e t idênticas. Considere B' a matriz obtida trocando essas duas linhas. Como as linhas eram iguais, B'=B (a troca não altera a matriz). Mas é uma propriedade dos determinantes que trocar duas linhas de posição muda o sinal do determinante: isto é, se B' é obtida de B trocando duas linhas, então
\det(B')=-\det(B).
Aplicando isso ao nosso caso, como B'=B devemos ter \det(B)=-\det(B), daí \det(B)=0.
Comentário sobre a propriedade “trocar linhas muda sinal”: uma justificativa simples é olhar para a definição por permutações
\det(B)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{k=1}^n b_{k,\sigma(k)}.
Trocar duas linhas u e v corresponde a compor cada permutação \sigma com a transposição (u\;v), que tem sinal -1; assim o sinal de cada termo muda de \operatorname{sgn}(\sigma) para -\operatorname{sgn}(\sigma), fazendo \det(B')=-\det(B). Para não se perder nisso, dá para checar em 2\times2 e 3\times3 e ver que a regra vale e é consistente com a definição por permutações.

Passo 6

Concluir a prova juntando as igualdades.
Resumo dos resultados anteriores:
  • Escrevemos
\det(A)=\sum_{i\neq p}\lambda_i\det\big(A^{(i\to p)}\big).
  • Para cada i\neq p, a matriz A^{(i\to p)} tem duas linhas iguais (linhas i e p), logo \det\big(A^{(i\to p)}\big)=0 pelo argumento do passo anterior.
  • Portanto cada termo da soma é zero, e assim
\det(A)=\sum_{i\neq p}\lambda_i\cdot 0=0.
Interpretação intuitiva final (pra te animar): o determinante mede, entre outras interpretações, o volume assinado do paralelepípedo gerado pelas linhas (ou colunas). Se uma linha é combinação linear das outras, ela está “no mesmo plano” gerado por elas e não acrescenta dimensão — o volume colapsa para zero. Então faz sentido geométrico e algebraico que \det(A)=0.

Resposta

\det(A)=0

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