Explique porque o determinante de uma matriz
vale 0 quando uma de suas linhas é combinação linear de outras linhas.
Passo 1
O que o problema pede: provar que o determinante de uma matriz quadrada
vale zero quando uma de suas linhas é combinação linear das outras linhas.
Informações dadas (explicitação):
- Seja
uma matriz . - Denote por
as linhas de . - Existe um índice
tal que a linha é combinação linear das outras linhas; ou seja, existem escalares (para ) tais que
O objetivo é mostrar que
.
Passo 2
Apresentar a ferramenta principal: a expansão de Laplace (expansão por cofatores) ao longo da linha
.
Explicação da fórmula e dos símbolos:
- Para qualquer matriz
e escolha de linha ,
onde
é o elemento da linha
e coluna
, e
é o cofator associado, isto é
com
sendo a menor obtida suprimindo a linha
e a coluna
.
Por que esta fórmula é útil aqui:
- A expansão mostra que
é linear em relação à linha : se a linha for soma de vetores, o determinante se quebra numa soma correspondente (porque cada aparece linearmente).
Passo 3
Mostrar que os cofatores
não dependem da linha
modificada (além de remover ela própria): mais precisamente,
é função apenas das linhas diferentes de
.
Explicação detalhada:
- O cofator
é, até um sinal, o determinante da submatriz que não contém a linha . Logo, se eu alterar a linha por qualquer outro vetor, os cofatores permanecem exatamente os mesmos, pois eles dependem só das outras linhas. Isso permite separar a linearidade do determinante em relação à linha das demais partes da matriz.
Passo 4
Usar a hipótese
na expansão por cofatores.
Desenvolvimento passo a passo:
- Escrevendo cada entrada
da linha como combinação das entradas das outras linhas, temos
- Substituindo na expansão,
- Troque a ordem das somas (distribuição):
- Observe o significado da soma interna
: é exatamente a expansão de Laplace ao longo da linha se, em vez de usar os elementos originais da linha , usássemos os elementos da linha . Ou seja, é o determinante da matriz que resulta de substituir a linha por uma cópia da linha . Denotando por a matriz obtida de substituindo por , temos
Passo 5
Mostrar que cada
porque nessa matriz existem duas linhas iguais.
Explicação detalhada e prova do fato “duas linhas iguais ⇒ determinante zero”:
- A matriz
tem a linha e a linha idênticas (pois substituímos por ). Portanto ela tem duas linhas iguais. - Agora demonstramos por que uma matriz com duas linhas iguais tem determinante zero. Seja
uma matriz com linhas e idênticas. Considere a matriz obtida trocando essas duas linhas. Como as linhas eram iguais, (a troca não altera a matriz). Mas é uma propriedade dos determinantes que trocar duas linhas de posição muda o sinal do determinante: isto é, se é obtida de trocando duas linhas, então
Aplicando isso ao nosso caso, como
devemos ter
, daí
.
Comentário sobre a propriedade “trocar linhas muda sinal”: uma justificativa simples é olhar para a definição por permutações
Trocar duas linhas
e
corresponde a compor cada permutação
com a transposição
, que tem sinal
; assim o sinal de cada termo muda de
para
, fazendo
. Para não se perder nisso, dá para checar em
e
e ver que a regra vale e é consistente com a definição por permutações.
Passo 6
Concluir a prova juntando as igualdades.
Resumo dos resultados anteriores:
- Escrevemos
- Para cada
, a matriz tem duas linhas iguais (linhas e ), logo pelo argumento do passo anterior. - Portanto cada termo da soma é zero, e assim
Interpretação intuitiva final (pra te animar): o determinante mede, entre outras interpretações, o volume assinado do paralelepípedo gerado pelas linhas (ou colunas). Se uma linha é combinação linear das outras, ela está “no mesmo plano” gerado por elas e não acrescenta dimensão — o volume colapsa para zero. Então faz sentido geométrico e algebraico que
.