Suponha x_{n}>0. Prove que se \left(x_{n}\right) converge (ou diverge) então \left(\frac{x_{n}}{1+x_{n}}\right) converge (ou diverge).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sendo \bigl(x_n\bigr) uma sequência de termos positivos, a sequência
y_n \;=\;\frac{x_n}{1+x_n}
também tem limite quando x_n tende a um número finito ou a +\infty. Vamos usar que a função
f\colon (0,\infty)\to\mathbb{R},\quad f(x)=\frac{x}{1+x}
é contínua em todo x>0 e estender o argumento ao caso x\to+\infty.

Passo 2

Suponha primeiro que x_n\to L com 0<L<\infty. Como f(x)=x/(1+x) é contínua em x=L, vale o teorema da composição de limites:
y_n=f(x_n)\;\longrightarrow\;f(L)=\frac{L}{1+L}.

Passo 3

Agora suponha que x_n\to+\infty. Escrevemos
y_n=\frac{x_n}{1+x_n} =1-\frac{1}{1+x_n}.
Como x_n\to+\infty implica 1/(1+x_n)\to0, segue que
y_n\to 1-0=1.

Resposta

Se \displaystyle x_n\to L\in(0,\infty), então
\frac{x_n}{1+x_n}\;\longrightarrow\;\frac{L}{1+L}.
Se \displaystyle x_n\to+\infty, então
\frac{x_n}{1+x_n}\;\longrightarrow\;1.

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