Determine a e b para que f seja continua em 3
l F(x)=x^wed>= 2+2 x-3, x=<3 a x+b, x>3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ F(x) $ que é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de $ x $. O objetivo é encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que essa função seja contínua em $ x = 3 $. Isso envolve entender o conceito de continuidade e como igualar os valores das duas partes da função nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função para $ x \leq 3 $:
x <= 3
Para verificar a continuidade em $ x = 3 $, precisamos saber qual é o valor de $ F(3) $. Substituindo $ x $ por 3 na expressão:
F(x) = x^2 + 2x - 3
Então, $ F(3) = 12 $.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte da função para $ x > 3 $:
x > 3
Para que a função seja contínua em $ x = 3 $, o limite dessa parte quando $ x $ se aproxima de 3 também precisa ser 12. Ou seja:
F(x) = a cdot x + b
Então, temos que:
x = 3

Passo 4

Até aqui, conseguimos uma equação que relaciona $ a $ e $ b $:
a
Essa é a única condição necessária para garantir a continuidade da função em $ x = 3 b éó a $ e $ b $) e apenas uma equação, podemos expressar um em termos do outro. Por exemplo, podemos resolver para $ b $:
3a + b = 12
Isso significa que, para qualquer valor escolhido para $ a $, podemos encontrar um $ b $ correspondente que mantém a função contínua em $ x = 3 $.

Resposta

Os valores de $ a $ e $ b $ devem satisfazer a equação $ 3a + b = 12 $. Ou seja, $ b = 12 - 3a $.

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