Determine a e b para que f seja continua em 3
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ F(x) $ que é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de $ x $. O objetivo é encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que essa função seja contínua em $ x = 3 $. Isso envolve entender o conceito de continuidade e como igualar os valores das duas partes da função nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função para $ x \leq 3 $:
Para verificar a continuidade em $ x = 3 $, precisamos saber qual é o valor de $ F(3) $. Substituindo $ x $ por 3 na expressão:
Então, $ F(3) = 12 $.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a parte da função para $ x > 3 $:
Para que a função seja contínua em $ x = 3 $, o limite dessa parte quando $ x $ se aproxima de 3 também precisa ser 12. Ou seja:
Então, temos que:
Passo 4
Até aqui, conseguimos uma equação que relaciona $ a $ e $ b $:
Essa é a única condição necessária para garantir a continuidade da função em $ x = 3
a $ e $ b $) e apenas uma equação, podemos expressar um em termos do outro. Por exemplo, podemos resolver para $ b $:
Isso significa que, para qualquer valor escolhido para $ a $, podemos encontrar um $ b $ correspondente que mantém a função contínua em $ x = 3 $.
Resposta
Os valores de $ a $ e $ b $ devem satisfazer a equação $ 3a + b = 12 $. Ou seja, $ b = 12 - 3a $.