Determine:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a expressão:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas compostas com funções inversas (arcsin e arccos). Vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas, como a fórmula do seno do ângulo duplo, a fórmula do cosseno de múltiplos ângulos e a fórmula da tangente do ângulo duplo. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
.
Lembrando da identidade do seno do ângulo duplo:
Aqui,
. Sabemos que
. Para encontrar
, usamos a relação
:
Agora, aplicando a identidade:
Passo 3
Agora, vamos calcular
.
Primeiro, definimos
. Queremos encontrar
.
Usamos a fórmula do cosseno de múltiplos ângulos:
Sabemos que
, então:
Agora, multiplicamos por 2:
Passo 4
Por último, vamos calcular
.
Primeiro, definimos
. Queremos encontrar
.
Usamos a fórmula da tangente do ângulo duplo:
Primeiro, precisamos encontrar
. Sabemos que
. Usando a relação
:
Então,
Agora, aplicando a fórmula do ângulo duplo:
Multiplicando por 5:
Resposta
Somando tudo:
Portanto, o valor final de
é aproximadamente
.