Se theta=arcsen(12)+arccos (-12), determine
cos (2 theta)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar o valor de cos(2theta), onde theta é a soma de duas funções trigonométricas inversas: arcsen(12) e arccos (-12). Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de trigonometria, especificamente sobre funções inversas e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular arcsen(12). A função arcsen(x) nos dá o ângulo cujo seno é x. Sabemos que:
sin(pi6) = 12
Portanto,
arcsen(12) = pi6

Passo 3

Agora, vamos calcular arccos (-12). A função arccos(x) nos dá o ângulo cujo cosseno é x. Sabemos que:
cos(2pi3) = -12
Portanto,
arccos (-12) = 2pi3

Passo 4

Com os dois valores encontrados, vamos somá-los para obter theta:
theta = arcsen(12) + arccos (-12) = pi6 + 2pi3
Para somar as frações, precisamos do mesmo denominador:
pi6 + 4pi6 = 5pi6
Então,
theta = 5pi6

Passo 5

Agora, queremos encontrar cos(2theta). Vamos usar a identidade trigonométrica do ângulo duplo:
cos(2theta) = 2cos^2(theta) - 1
Primeiro, precisamos encontrar cos(theta).

Passo 6

Sabemos que:
theta = 5pi6
Calculando o cosseno desse ângulo:
cos(5pi6) = -raiz32
Agora, aplicamos na identidade:
cos(2theta) = 2(-raiz32)^2 - 1 = 2(34) - 1 = 32 - 1 = 12

Resposta

cos(2theta) = 12

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