Se theta=arcsen(12)+arccos (-12), determine
sen(2 theta)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é que θ é igual à soma de dois ângulos: um dado pela função arcsen de 1/2 e o outro pela função arccos de -1/2. Nosso objetivo é descobrir o valor de sen(2θ). Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades das funções trigonométricas e das identidades trigonométricas de ângulos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de cada arco trigonométrico. Sabemos que:
A função arcsen de 1/2 nos dá o ângulo cujo seno é 1/2. Sabemos que:
Porque o seno de π/6 (30 graus) é 1/2.

Passo 3

Agora, vamos calcular a arccos de -1/2. A função arccos nos dá o ângulo cujo cosseno é -1/2. Sabemos que:
arccos(-12) = 2pi3
Porque o cosseno de 2π/3 (120 graus) é -1/2.

Passo 4

Agora, somamos os dois ângulos para encontrar o valor de θ:
theta = pi6 + 2pi3
Para somar essas frações, precisamos de denominadores iguais. Convertendo tudo para sextos:
pi6 + 4pi6 = 5pi6
Então, �� é igual a 5π/6.

Passo 5

Agora, queremos encontrar sen(2θ). Vamos usar a identidade trigonométrica para o seno de um ângulo duplo:
Primeiro, precisamos encontrar sen(θ) e cos(θ).

Passo 6

Sabemos que θ = 5π/6. Vamos encontrar sen(5π/6) e cos(5π/6):
sen(5pi6) = 12
Porque no segundo quadrante, o seno é positivo e o cosseno é negativo.

Passo 7

Agora, aplicamos esses valores na identidade que usamos:

Resposta

O valor de sen(2θ) é -dfracraiz32.

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